证明拉格朗日中值定理
牛顿379、证明拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理（百度百科）：…
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…拉格朗日中值定理：见《牛顿376》…
定理表述
如果函数f（x）满足：
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a） 成立。
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…
…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。
小写ξ用于：数学上的随机变量…
“上两集讲了直线点斜式，斜截式知识。
现在我们用这些知识详解拉格朗日中值定理图示。”现代学者说。
…上两集：指《牛顿377》、《牛顿378》…
…直线点斜式：见《牛顿377》…
…直线斜截式：见《牛顿378》…
…知、识、知识：见《欧几里得5、6》…
“A点坐标[a，f（a）]，B点坐标[b，f（b）]，则△x=b-a，△y=f（b）-f（a）。”现代学者接着说，“于是：斜率（导数的几何意义）k=△y/△x=[f（b）-f（a）]/（b-a）。”
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…意、义、意义：见《欧几里得26》…
“已知斜率k和直线上一点A[a，f（a）]，代入直线点斜式公式y-b=k（x-a），得：
y-f（a）=[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）
移项得：y=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）
上式即为过AB两点的直线表达式。”现代学者最后说。
[方程y-b=k（x-a）叫做直线的点斜式方程，其中 （a，b）是直线上一点。
——见《牛顿377》]
2020-07-26 09:11 网友“strongdady”上传名为《拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理》的文档。
…构、造、构造：见《牛顿59》…
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
文档内容：…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
有多种构造方法，辅助函数不止一个。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
一，多种几何方法
思路：设构造出的辅助函数为F，必须有F（a）=F（b），才能应用罗尔中值定理
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…罗尔中值定理：见《牛顿367~375》…
[注意，是F（a）=F（b），而非F（a）=F（b）=0，不需要等于0]
方法1：让f（x）曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F（a）=F（b）。[且F（a）=F（b）=0]
方法2：f（x）的左端点A不动，右端点B下移到跟左端点A相同高度即可保证F（a）=F（b）。[但是F（a）=F（b）≠0]
方法3：让左端点A上升到跟右端点B相同水平高度即可保证F（a）=F（b）。[但是F（a）=F（b）≠0]
拉格朗日的做法，是方法1。
方法1
让f（x）在[a，b]区间内的所有点下移；下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F（a）=F（b）=0。
这个下移的距离是一个跟x有关的函数。
这个函数就是弦AB的函数：y=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）
f（x）减去弦的高度（即上式的弦方程），即可做到f（x）曲线的右端点B落在x轴上，即：F（x）=f（x）-y=f（x）-{f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）}
=f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）
上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致。
“怎么理解‘f（x）减去弦的高度（即上式的弦方程），即可做到f（x）曲线的右端点B落在x轴上’？
可以这样理解：F（x）曲线上的每个点的y值，是曲线f（x）的y值，减去弦AB的y值，得出的那个值。
比如x=a的点A，同时在曲线f（x）和弦AB上，两y值相减得0，0即x=a时，F（x）曲线上的点的y值，即点a（a，0）。
同理得出点b（b，0）及F（x）曲线上所有的点，即图中虚线部分。”现代学者说。
“构造的新函数F（x）在区间[a，b]上满足罗尔定律的条件，于是至少存在一点ξ∈（a，b），使F’（ξ）=0，即F’（ξ）=f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0
由此得f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）”现代学者接着说，“于是拉格朗日中值定理得到了证明。”
…∈：数学符号“属于”…见《牛顿303》…
注：
F’（ξ）={f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）}’
=f’（x）-f’（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）’
=f’（x）-f’（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x’-a’）
=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·1
=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）
[导数的四则运算法则：
（f1±f2±…±fn）’=f1’±f2’±…±fn’
（Cu）’=Cu’
——证明见《牛顿366》
常数的导数是0。
——证明见《牛顿333》。]
……
【注意】有网友认为曲线先下落，然后以（a，0）点为轴，旋转曲线右端点到x轴，这是错误的。
…错、误、错误：见《欧几里得193》…
因为旋转是弧形旋转，弦AB长度不变，实际是长度缩短了，因为是投影下来的，曲线两端点的距离不变。
…距、离、距离：见《牛顿147》…
“减去h（x）以后，f（x）变成F（x）。
不妨把h（x）写成kx+l，
则F’（x）=f’（x）-k
k是AB两点连线的斜率，要证明存在一点s，使得f’（s）=k，也就是证明存在一点s，使得F（s）=0。
请看下集《牛顿380、拉格朗日辅助函数》”
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