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第 二 章 矩阵及其运算

&1.矩阵

概念：

• m行n列矩阵：由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵

    ——为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作

    ——这mxn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作

    ——矩阵A也可记作

• 实矩阵：元素是是实数的矩阵。

• 复矩阵：元素为复数的矩阵。

• n阶矩阵或n阶方阵：行数与列数都等于n的矩阵，n阶矩阵A也记作

• 行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵，又称行向量

• 列矩阵：只有一列的矩阵叫做行矩阵，又称列向量
  

• 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。

• 矩阵相等：如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵。并且它们的对应元素相等，即

    ——就称矩阵A与矩阵B相等，记作

• 线性变换：n个变量x1,x2,...,xn与m个变量y1,y2,...,ym之间的关系式

    ——表示从一个变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的线性变换，其中aij为常数，线性变换的系数aij构成矩阵A=(aij)。

• n阶单位矩阵：主对角线上的元素都是1，其他元素都是0的n阶方阵，形如
  

• 对角矩阵：不在主对角线上的元素都是0，形如

&2.矩阵的运算

一、矩阵的加法

定义：设有两个m行n列矩阵A=(aij)与B=(bij)，则矩阵A和B的和记作

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时。这两个矩阵才能进行加运算。

运算律（A，B，C都是m行n列矩阵，O为每个元素都为0的矩阵）：

1. 交换律：A+B=B+A

2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

3. 恒元：A+0=0

4. 逆元：A+(-A)=O——

   -A记作A的负矩阵，-A=(-aij)

矩阵的减法：A-B=A+(-B)

二、数与矩阵相乘

定义：数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为

运算律（设A，B为m行n列矩阵，λ，μ为数）：

1. 结合律：(λμ)A=λ(μA)

2. 第一分配律：(λ+μ)A=λA+μA

3. 第二分配律：λ(A+B)=λA+λB

矩阵的线性运算：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵与矩阵相乘

概念：

• 线性变换的乘积：设有从x1,x2,x3到y1,y2的线性变换，以及从t1,t2,t3到x1,x2,x3的线性变换

    ——若想求出从t1,t2,t3到y1,y2的线性变换，可将后一个线性变换代入前一个，得

    ——上述线形变换叫做前两个线性变换的乘积，再把该线性变换对应的矩阵定义为前两个线性变换对应矩阵的乘积

定义：设A=(aij)是一个m行s列矩阵，B=(bij)是一个s行n列矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m行n列矩阵C=(cij)，其中

并把此乘积记作

推论：一个1xs行矩阵与一个sx1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，就是一个数

——乘积矩阵AB=C的(i,j)元cij就是A的第i行和B的第j列的乘积。

注意：

1. 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数是，两个矩阵才能相乘。

2. 若有两个矩阵A，B满足AB=O，不能得出A=O或B=O的结论；

   若A≠O而A(X-Y)=O，也不能得出X=Y的结论。

• 方阵A与B是可交换的：对于两个n阶方阵A，B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的。
  

运算律（E为单位矩阵，λ，μ为数）：

1. （乘积）结合律：(AB)C=A(BC)

2. （数乘）结合律：λ(AB)=(λA)B=A(λB)

3. 左分配律：A(B+C)=AB+AC

4. 右分配律：(B+C)A=BA+CA

5. 恒元：EmAmxn=Amxn，AmxnEn=Amxn，简写做EA=AE=A

• 纯量阵：单位矩阵的λ倍称为纯量阵

推论：当A为n阶方阵时，(λEn)An=An(λEn)，纯量阵λE与任何同阶方阵都是可交换的。

• 矩阵的幂：设A为n阶方阵，定义

    ——其中k为正整数，A的k次幂就是k个A连乘。

矩阵的幂的运算律：

——其中k，l为正整数。

注意：矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般来说

   

• 线性变换（矩阵表示）：列向量（列矩阵）X表示n个变量x1,x2,...,xn，列向量（列矩阵）Y表示m个变量y1,y2,...,ym，下述线性变换把X变成Y，相当于用系数矩阵A去左乘X得到Y——

• 向量OP投影的矩阵表示（X轴）：

• 向量旋转φ角度的矩阵表示：

    

四、矩阵的转置

定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作

运算律（λ为数）：

概念：

• 对称矩阵：简称对称阵，设A为n阶方阵，如果满足

    ——那么A称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

    

五、方阵的行列式

定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。

运算律（λ为数）：

概念：

• 伴随矩阵：简称伴随阵，行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵

    ——AA*=A*A=|A|E.

    

六、共轭矩阵

定义：当A=(aij)为复矩阵时，A中各个元素的共轭复数放在对应位置组成的矩阵称为共轭矩阵

运算律（设A，B为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：