高考数学题46：天津2011年高考题

题目：设a=5^㏒₂3.4，b=5^㏒₄3.6，c=(1/5)^㏒₃0.3，这三个数之间的大小顺序是(  )。难度2/5。 解题分析：以5为底数的指数函数是增函数，我们只要把底数化为相同，然后比较指数的大小就可以了。我们只要把c的底数转化为5即可。 c=(1/5)^㏒₃0.3=(5⁻¹)^㏒₃0.3 =5^-㏒₃0.3=5^㏒₃0.3⁻¹=5^㏒₃(10/3) 三个数底数都是5，现在比较三个指数的大小：㏒₂3.4、㏒₄3.6、㏒₃(10/3)。 如果你对对数函数的性质非常熟悉，一眼就能看出结果，不需要任何计算。 1＜㏒₂3.4＜2， 0＜㏒₄3.6＜1， 1＜㏒₃(10/3)＜2。 这里，a和c的指数需要比较一下大小。 这里比较大小有一点技巧。我们可以比较2¹·⁵与3.4和3¹·⁵与10/3的大小，判断对数是大于1.5还是小于1.5。 2¹·⁵=2¹⁺⁰·⁵=2×√2≈2.8＜3.4， 所以，1.5＜㏒₂3.4＜2。 3¹·⁵=3¹⁺⁰·⁵=3×√3≈5.2＞10/3， 所以，1＜㏒₃(10/3)＜1.5。 即有㏒₂3.4＞㏒₃(10/3)，a＞c。 也可以用换底公式做。 ㏒₂3.4/㏒₃(10/3) =(㏒₃3.4/㏒₃2)/㏒₃(10/3)， 因为㏒₃2＜1，所以 (㏒₃3.4/㏒₃2)/㏒₃(10/3) ＞㏒₃3.4/㏒₃(10/3)， 因为3.4＞10/3，所以 ㏒₃3.4/㏒₃(10/3)＞1。 即有㏒₂3.4＞㏒₃(10/3)，a＞c。 综上所述，a＞c＞b。