《几何原本》命题4.13【夸克欧氏几何】
命题4.13：
可作一正五边形的内切圆
已知：正五边形ABCDE
求：作正五边形ABCDE的内切圆
解：
作CF平分∠BCD
（命题1.9）
作DF平分∠CDE，与CF交点记为点F
（命题1.9）
连接AF，BF，EF
（公设1.1）
过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，FK⊥CD，FL⊥DE，FM⊥AE
（命题1.12）
证：
∵BC=CD，∠BCF=∠DCF，CF公用
（已知）
∴△BCF≌△DCF，∠CBF=∠CDF，BF=DF
（命题1.4）
∵∠CDE=2∠CDF，∠CDE=∠ABC
（已知）
∴∠ABC=2∠CBF
（公理1.1）
同理可证，AF平分∠BAE，EF平分∠AED
∵∠ABC=∠BCD
（已知）
∴∠FBH=∠FCH
（公理1.1）
∵FH⊥BC
（已知）
∴∟CHF=∟BHF
（定义1.10）
∵CF公用
（已知）
∴△CFH≌△BFH，FH=FK
（命题1.26）
同理可证FG=FH=FK=FL=FM
∴以点F为圆心，FG,FH,FK,FL,FM任意一个为半径作圆GHKLM经过其余的点
∵FG⊥AB，FH⊥BC，FK⊥CD，FL⊥DE，FM⊥AE
（已知）
∴圆GHKLM切于正五边形ABCDE的各个边
（命题3.16）
∴圆GHKLM是正五边形ABCDE的内切圆
（定义4.5）
证毕
此命题的证明方法将在本卷后几个命题中经常被提到
PS：按照这一命题中的方法，可以作已知正n边形的内切圆
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