极限赛=花钱买卡背？收益分析

一版本一度的影之诗极限赛又开始了，我这个版本没怎么打，但是因为卡背比较好看，就拿着一套不熟悉的卡组直接报名了。结果是直接以4胜收尾，亏了1000金币，但获得了想要的卡背。

那如果不想要这个卡背，只考虑金币的话，是否应该参赛？这篇文章将要分析这个问题。

极限赛的匹配过程，是匹配同样参加极限赛的玩家，且据实验似乎并不会按照胜负场匹配。在这个假设下，每一场匹配到对手的水平在平均值上应该是相同的。考虑到一般不会有使用娱乐卡组参赛，这个难度大概为M段7000分以上/GM14000分以上。

极限赛收益如下：

以M段7000分以上/GM14000分以上为参考，设平均胜率为p。先考虑免费场次落败的情况：

单轮8胜之前结束游戏的，最后一场必然败北。而在前面场次中有一场败北。根据二项分布，其概率为

w(n)=(n+1)*p^n*(1-p)^2,

其中n为胜场数。

单轮取得8胜的，最后一场必然胜利。前面场次中有0或1次败北，其概率为

w(8)=8*p^8*(1-p)+p^8.

由于可以入场两轮，成绩取最好的一次，最终n胜的概率为两次均取得n胜，或一次取得n胜，一次不足n胜，故

p(n)=w(n)^2+2*w(n)*[0+w(0)+w(1)+...+w(n-1)],

w(-1)定义为0.

免费场次胜利的情况，同样可使用该算法，只需把获胜的最高场次改为7而非8，再在结果处胜场加一即可。

根据各胜场的概率，可求得获得金币的数学期望与胜率的关系，如下图：

蓝色曲线为首场失利，红色为首场胜利。

考虑到绝大多数玩家胜率在40%~80%之间，上图细节：

由于金币收益大多集中在7胜8胜，对于卡背玩家来说，可能更关心是否能5胜收回入场费。达成5胜的概率如下图：

结论

若免费场次获胜，胜率达到45%即可使得期望收益为正，胜率达到55%有50%概率至少回本，胜率达到72%有80%概率至少回本。

若免费场次落败，胜率达到51%即可使得期望收益为正，胜率达到64%有50%概率至少回本，胜率达到76%有80%概率至少回本。