反射，稳定序数枚举

下面把∏ₓ-反射 onto 简写为x-，且则用空格代替。a是b稳定则用箭头代替,即a→b 首先是∏₁-反射(简写为1): 1=ω 1-1=ω^2 1-1-1=ω^3 (1-)^ω=ω^ω 左上角表示反射链长度 (1-)^((1-)^ω)=ω^^3 a->(1-)^a的第一个不动点就是ε_0 我们可以设X(1,m)=a->(1-)^a的第m个不动点.然后用X(2,0)折叠X(1,…)的不动点.这样继续下去.可以得到任意大的递归序数. ∏₂-反射(简写为2,后面将不再叙述): 2=ω_1^CK 因为1反射序数可以描述任意大的递归序数.但它永远也描述不了ω_1^CK(首个非递归序数).所以2反射=ω_1^CK. 下面把ω_x^CK简写为Ω_x 1-2=Ω_ω 第ω个非递归序数 1-1-2=Ω_(ω^2) 第ω^2个非递归序数 (1-)^ω 2=Ω_(ω^ω) 通过把1反射的不动点套在2反射前可以得到任意Ω_(递归序数) (1-)^(2) 2=Ω_Ω 长度为Ω的1反射链. (1-)^(1-2) 2=Ω_Ω_ω (1-)^((1-)^(2)) 2=Ω_Ω_Ω a->(1-)^a 2的第一个不动点是Φ(1,0).也就是Omega不动点. 通过创造(1-)^a 2的各种不动点可以得到任意大的容许序数.放在OCF里就是诸如ψ_I(I^2),ψ_I(K)之类的东西. 它们永远小于也到达不了“I”递归不可达序数. 2 1-2=I 它正是 1-1-…2描述不了的 1-(2 1-2)=I_ω 第ω个不可达序数 1-1-(2 1-2)=I_(ω^2) (1-)^(2) (2 1-2)=I_Ω (1-)^(2 1-2) (2 1-2)=I_I (1-)^((1-)^(2 1-2) (2 1-2)) (2 1-2)=I_I_I 通过创造(1-)^a (2 1-2)的各种不动点可以得到ψ_I(1,0)(I(1,0,0)),ψ_I(1,0)(M^5)…等各种序数(在OCF中) 它们永远达不到下面的: 2 1-(2 1-2)=I(1,0) I的容许极限,1-1-…(2 1-2)无法描述的序数. 1-(2 1-(2 1-2))=I(1,ω) (1-)^(2 1-(2 1-2)) (2 1-(2 1-2))=I(1,I(1,0)) 2 1-(2 1-(2 1-2))=I(2,0) I(1,0)的容许极限 2 1-(2 1-(2 1-(2 1-2)))=I(3,0) (2 1-)^ω=I(ω,0) (2 1-)^((2 1-)^2)=I(I(1,0),0) 下面把(2 1-)^(…)的第一个不动点记为(2 1-)^(1,0).那么(2 1-)^(1,0)=ψ_I(1,0,0)(0) 2 1-(2 1-)^(1,0)=(2 1-)^(1,1)=I(1,0,0).I(…,0)的容许极限.也是a->(2 1-)^a的第二个不动点. 通过创造(2 1-)^a的各种不动点.我们可以得到任意大的不可达序数. 2-2=M Mahlo序数,(2 1-)^…所无法描述的序数 1-2-2=M_ω 第ω个Mahlo序数 (1-)^(2-2) 2-2=M_M (1-)^(1,0) 2-2=MFP Mahlo不动点 2 1-2-2=M(1,0) Mahlo序数的容许极限 2 1-(2 1-2-2)=M(2,0) M(1,x)的容许极限 2 1-(2 1-(2 1-2-2))=M(3,0) (2 1-)^ω (2-2)=M(ω,0) (2 1-)^((2 1-)^ω (2-2)) (2-2)=M(M(ω,0),0) (2 1-)^(1,0) (2-2)=a->M(a,0)的第一个不动点 (2 1-)^(1,1) (2-2)=M(1,0,0) M(x,0)的容许极限 如此往复,(2 1-)^a (2-2)的各种不动点可以得到M(a,b,c,d)…等任意大的Mahlo序数. 2-2 1-2-2=M[1,0] 2-Mahlo序数,它放到ocf里折叠出M(a,b,c,…) 2 1-(2-2 1-2-2)=M[1,(1,0)] 2-Mahlo序数的容许极限 2 1-(2 1-2-(2-2 1-2-2))=M[1,(2,0)] (2 1-)^(1,1) (2-2 1-2-2)=M[1,(1,0,0)] 2-2 1-(2-2 1-2-2)=M[3,0] 3-Mahlo序数.它放到ocf里会折叠出M[2,(a,b,…)] 2-2 1-(2-2 1-(2-2 1-2-2))=M[4,0] 4-Mahlo序数 (2-2 1-)^ω ω-Mahlo序数 (2-2 1-)^(1,1) M[(1,0),0] a-Mahlo序数的容许极限 2-2-2=M[1,0,0] 超Mahlo序数 2-2-2-2=M[1,0,0,0] (2-)^ω=M[1@ω] (2-)^(1,0)=M[1@M[1@…]] ∏₃-反射 3=K 弱紧序数 接下来将加快速度 1-3=K_ω 2 1-3=K(1,0) K的容许极限 2-2 1-3 K的Mahlo极限 2-2-2 1-3 K的超Mahlo极限 3 1-3 自己的自己极限 3 1-(3 1-3) 自己的自己的自己极限 2-3 (都不知道怎么描述了) 2 1-2-3 它的容许极限 2-2 1-2-3 它的Mahlo极限 3 1-2-3 它的K极限 2-(3 1-2-3) 它的自己极限 1-2-(3 1-2-3) 第ω个它自己极限 2-2-3 不再叙述 2-2-2-3 3 2-3 2-(3 2-3) 2-2-(3 2-3) 3 2-(3 2-3) 3 2-(3 2-(3 2-3)) 3-3 终于来到了长度为2的3反射链 3-3 2-3-3 3-3 2-(3-3 2-3-3) 3-3-3 3-3-3-3 (3-)^ω (3-)^(1,0) ∏₄-反射 4-4 5 6 114514 … ω 虽然ω反射不存在,但便于理解还是写上了 ω-ω-ω ω+1-反射 ε_0-反射 ψ(K_3)-反射 Ω-反射 I-反射 M-反射 K-反射 4-反射-反射 ω-反射-反射 ω-反射-反射-反射 假设存在一个反射不动点,它是∏_∏_…=∏(1,0) -

反射的使命到此为止

- --- a→a+1-∏0 稳定 这是最小的稳定序数,它相当于ω-反射 a→a+1-∏1 稳定 它相当于ω+1-反射 a→a+1-∏2 稳定 ω+2-反射 a→a+1-∏ω=a→a+2-∏0 稳定 ω2-反射 稳定序数尾部满ω进1.也就是说,一层稳定相当于ω层反射. 下文将省去稳定后缀 a→a+2-∏0 ω3-反射 a→a+ω-∏0 ω^2-反射 a→a+ε_0-∏0 ε_0-反射 a→a+Ω-∏0 Ω-反射 a→a+(∏3-Ref)-∏0 K-反射 a→a+(a→a+1-∏0)-∏0 ω-反射-反射 a→a2-∏0 ∏(1,0)-反射 a之于a→类似于Ω之与ψ 反射的复杂层级,只需要稳定序数的简单运算就可以达到 a→a2+1-∏0 a→a2+(a→a2-∏0)-∏0 a→a3-∏0 a→aω-∏0 a→a(a→a+1-∏0)-∏0 a→a^2-∏0 a→a^3-∏0 a→a^(a→a^2-∏0)-∏0 a→a^a-∏0 a→a^a^a-∏0 a→ε_(α+1)-∏0 a的ε点 a→Γ_(α+1)-∏0 a的Γ点 a→ψ_Ω_(α+1)(Ω_(a+2))-∏0 a→ψ_Ω_(α+1)(I(1,0,a+1))-∏0 把a代入到ocf中 a→Ω_(α+1)-∏1 a的容许点 a→ψ_Ω_(α+2)(M_(a+ω))-∏0 a→Ω_(α+2)-∏1 a→Ω_(α+ω)-∏0 ω-Dropping的极限 a→Ω_(α2)-∏0 a→Ω_(ψ_Ω_(a+1)(Ω_(a2)))-∏0 a→Ω_Ω_(a+1)-∏1 a→Φ(1,α+1)-∏0 a之后的ofp a→ψ_I_(a+1)(I(a+1)^2)-∏0 a→I_(α+1)-∏1 a→I_I_(α+1)-∏1 a→ψ_I(1,a+1)(I(1,a+1))-∏1 a→I(1,α+1)-∏1 a→I(1,0,α+1)-∏1 a→M_(α+1)-∏1 a之后的Mahlo点 a→K_(α+1)-∏1 a之后的K点,又称a→∏3-反射 after a-∏1 a→∏4-反射 after a-∏1 a→∏ω-反射 after a-∏1=a→b→b+1-∏0-∏0 长度为2的稳定链 这个东西是不是类似于a→a+1-∏0稳定=∏ω-反射?但它是关于a的. a→b→b+1-∏1-∏0 a→b→b+2-∏0-∏0 a→b→b+(a→b→b+1-∏0-∏0)-∏0-∏0 a→b→b+a-∏0-∏0 a→b→b+a^2-∏0-∏0 a→b→b+K_(a+1)-∏1-∏0 a→b→b+∏ω-反射 after a-∏0-∏0 =a→b→b+(b→b+1-∏0)-∏0-∏0 a→b→b2-∏0-∏0 开始折叠b a→b→b^2-∏0-∏0 a→b→ε_(b+1)-∏0-∏0 a→b→Ω_(b+1)-∏1-∏0 a→b→K_(b+1)-∏1-∏0 a→b→∏ω-反射 after b-∏0-∏0 =a→b→c→c+1-∏0-∏0-∏0 当b大到∏ω反射之后时,需要用c来折叠.形成长度为3的稳定链. a→b→c→c+a-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c+b-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c+(c→c+1-∏0)-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c2-∏0-∏0-∏0 开始折叠c a→b→c→∏4反射 after c-∏0-∏0-∏0 a→b→c→d→d+1-∏0-∏0-∏0-∏0 长度为4的稳定链(请自行想象) 像α→β→γ→…这样的链条称为稳定链,当稳定链的长度达到ω的时候.这个序数放在OCF里被称为PLRO(它不是真正的稳定链) 目前为止,我们达到了BMS的(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 未完待续