2023浙江大学强基数学逐题解析（5）

2023-06-21 00:57 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：安達としまむら

作画：kagami

https://www.pixiv.net/artworks/85618946

12. 下列说法正确的是

A. 自然数集合与有理数集合间无双射

B. 有理数集合与实数集合间无双射

C. 实数集合与整数集合间无双射

D. 以上都不对

答案 BC

解析

A. 我们将 $%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleft(p%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%2Cq%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$ 按如下顺序排成数列 $%5Cleft%5C%7Br_n%5Cright%5C%7D$ ：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B4%7D%7B1%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2C%5Ccdots$

然后将其中满足 $%5Cleft(p%2Cq%5Cright)%3D1$ 的项对应的 $n$ 从小到大排成 $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D$ .

构造 $f_%2B%3A%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5E*$ ，满足

$f_%2B%5Cleft(n%5Cright)%3Dr_%7Ba_n%7D%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

则 $f_%2B$ 是一个双射.

利用交替排列正负有理数的方法，构造 $f%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 满足：

$f%5Cleft(0%5Cright)%3D0$

$f%5Cleft(2n-1%5Cright)%3D-f_%2B%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

$f%5Cleft(2n%5Cright)%3Df_%2B%5Cleft(n%5Cright)%5Cleft(n%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%5Cright)$

则 $f$ 是一个双射.

所以，自然数集合与有理数集合间存在双射.

故A说法不正确.

B. 由A知， $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 等势.

我们证明以下引理：

引理1 对任意 $x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ 和区间 $%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D%5Cleft(a%3Cb%5Cright)$ ，存在 $c%2Cd%5Cleft(c%3Cd%5Cright)$ 满足 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ 且 $x%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ .

证明若 $x%5Cnotin%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ ，则只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%5Cleq%20b$

显然存在.

若 $x%3Da$ ，则只需

$a%3C%20c%3Cd%5Cleq%20b$

显然存在.

若 $x%5Cin%20%5Cleft(a%2Cb%5Cright)$ ，则只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%3Cx%3Cb%20%E6%88%96a%3Cx%3Cc%3Cd%5Cleq%20b$

显然存在.

若 $x%3Db$ ，则只需

$a%5Cleq%20c%3Cd%3C%20b$

显然存在.

综上，对任意 $x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ 和区间 $%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D%5Cleft(a%3Cb%5Cright)$ ，存在 $c%2Cd%5Cleft(c%3Cd%5Cright)$ 满足 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D$ 且 $x%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ . 引理1得证.

引理2 对任意 $L%3E0$ ，在引理1的条件下，都存在 $c%2Cd$ 满足

$0%3Cd-c%3CL$

证明对于引理1中取得的任意 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ ,若 $0%3Cd-c%3CL$ ，结论成立；若 $d-c%5Cgeq%20L$ ，则一定存在 $%5Cleft%5Bc%2Cd%5Cright%5D$ 的某个真子集 $%5Cleft%5Bc'%2Cd'%5Cright%5D$ 满足 $0%3Cd'-c'%3CL$ ，结论成立. 引理2得证.

假设 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 等势，即 $%5Cmathbb%7BR%7D%3D%5Cbigcup_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D%5E%7B%7D%5Cleft%5C%7Bx_n%5Cright%5C%7D%20$ .

存在 $%5Cleft%5Ba_0%2Cb_0%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D$ 满足

$x_0%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_0%2Cb_0%5Cright%5D$

且

$0%3Cb_0-a_0%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E0%7D$

对任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*$ ，存在 $%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D%20%5Csubseteq%20%5Cleft%5Ba_%7Bn-1%7D%2Cb_%7Bn-1%7D%5Cright%5D$ 满足

$x_n%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D$

且

$0%3Cb_n-a_n%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%7D$

由此， $%5Cleft%5C%7Ba_n%5Cright%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D$ 与 $%5Cleft%5C%7Bb_n%5Cright%5C%7D_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%7D$ 均为 $%5Cmathrm%7BCauchy%7D$ 数列，因此 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n$ 与 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n$ 均存在.

且 $%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20%5Cleft(b_n-a_n%5Cright)%3D0$ ，所以

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n$

记

$%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20a_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%2B%5Cinfty%7D%20b_n%3Ds%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$

则对于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $a_n%3Cs%3Cb_n$ .

由于对于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $x_n%20%5Cnotin%20%5Cleft%5Ba_n%2Cb_n%5Cright%5D$ ，

所以对于任意 $n%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ ， $x_n%20%5Cneq%20s$ .

这说明 $s%20%5Cnotin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ ，矛盾.

所以 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 不等势.

从而 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 不等势. 所以有理数集合与实数集合间无双射.

故B说法正确.

C. 构造 $g%3A%5Cmathbb%7BN%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BZ%7D$ ，满足

$g%5Cleft(n%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%2Cn%3D2k%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)%5C%5C%0A-%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%2Cn%3D2k%2B1%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D$

则 $g$ 是一个双射，所以 $%5Cmathbb%7BN%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BZ%7D$ 等势.

所以 $%5Cmathbb%7BR%7D$ 与 $%5Cmathbb%7BZ%7D$ 不等势. 所以实数集合与整数集合间无双射.

故C说法正确.

D. 因为B、C说法是正确的，所以D说法不正确.

故选：BC.

13. 已知 $a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$ ， $%5Ctheta%20%5Cin%20%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright)$ ，复数

$z_1%3D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta$

$z_2%3D%5Csin%5Ctheta%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Ccos%5Ctheta$

$z_3%3Da%5Cleft(1-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cright)$

求满足 $z_1$ ， $z_2$ ， $z_3$ 成等比数列的 $%5Cleft(a%2C%5Ctheta%5Cright)$ 的个数.

答案 6

解析

由于 $z_2%5Cneq0$ ，所以 $z_1%2Cz_2%2Cz_3$ 成等比数列等价于

$z_2%5E2%3Dz_1z_3$

由于

$z_2%3D%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ctheta%5Cright)%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ctheta%5Cright)$

$z_3%3D%5Csqrt%7B2%7Da%5Cleft(%5Ccos%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Csin%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)$

所以 $z_2%5E2%3Dz_1z_3$ 等价于

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0A1%5E2%3D1%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7Da%5C%5C%0A%5Cpi-2%5Ctheta%3D%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-1%5E2%3D1%5Ccdot%5Csqrt%7B2%7Da%5C%5C%0A2%5Cpi-2%5Ctheta%3D%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%2B2k%5Cpi%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%2B%5Cfrac%7B2k%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cleft(k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

由于 $%5Ctheta%20%5Cin%20%5Cleft%5B0%2C2%5Cpi%5Cright)$ ，上式即

$%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B13%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B21%5Cpi%7D%7B12%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%E6%88%96%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%E6%88%96%5Cfrac%7B17%5Cpi%7D%7B12%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A$

所以满足 $z_1%2Cz_2%2Cz_3$ 成等比数列的 $%5Cleft(a%2C%5Ctheta%5Cright)$ 的个数为6.

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