恶补基本功-本科代数-第二章，第2节

上一节的几个例子：

例子1：让S和S'都是实数集(R)，然后定义的映射为，我们可以说f的像(image)是所有大于等于0的实数。

如果加了一个S的子集T，我们可以用相同的规则重新定义一个T的一个新映射，此时的f就是受T限制的f，这就是f限制(restriction)于T，

是单射(Injective)，如果任意两个不同的成员x和y，他们的像都不同。

例子2：不是一个单射映射，所以我们设置一个g，将g定义为，这样的话g就是单射映射，因为任意两个不同的x无法得出两者皆相同的g(x)。

在中，如果所有S'的成员，都有其对应的S成员。这个就叫满射(Surjective)。

例子3，还是上面的映射，，f不是满射，因为S'中的负数并不是S的像，但是g(x)=x+1是满射，因为所有的g(x)都有其对应的x。

如果这个映射同时满足单射与满射的特性（一对一），我们称之为双射(bijective)。

例子4：如果一个映射呈现的是的情况，我们称之为恒等(Identity)，恒等必然映射。

如果T是S的子集，那么T的恒等映射，可以被S视为包含映射(Inclusion)，一般是这样写：

如果S,T,U为集，而

，

我们可以以此形成复合映射(composite mapping)，

，

因为

例子5：让，因此，而。

因此，

映射的“套娃”是满足结合律的，比如：

论证方式：

左侧：

右侧：

另外，在这些映射中，如果f和g是单射，那么也是单射，如果f和g是满射，那么也是满射。如果f和g是双射，那么也是双射。

论证：假设f和g都是单射，x不等于y，由于f是单射，所以，因此，因为g也是单射。

如果f和g都是满射，就存在着x不等于y，而f(x)=f(y)，由于g也是满射，所以也存在g(x)=g(y)，因此g(f(x))=g(f(y))成立。

逆映射(inverse mapping)使得两个映射组合成为恒等映射。

如果f存在其逆映射，那么f是双射。

一个双射的恒等映射，可以称之为S的排列(Permutation of S)，这个集又被称为Perm(S)。

如果都是S的排列，这样我们会直接写成

例子：在平面几何中，一个的映射可以说是等距(isometry)，如果F保存着其距离，也就是说任意两个点P和Q，