【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集
[来自2023.5.29：似乎看的人还挺多？距离笔者写这篇notes已经有小半年了，由于笔者是物理系的，目前正在学量子场论（qft），这里我稍微推荐基本比较能让读者建立线代思想的书籍，以及进一步的学习，当然，这是按照物理系安排的方法来的，我猜数学人估计不会点进来看笔记doge：第一个要声明的是，这篇note里并无除此视频以外的内容，只不过稍微对视频中的内容有所解释，没有更多的延拓与理解，因此我推荐一些书籍：pku的那本《简明高等代数》的风格和3b1b的风格还是挺像的（线代部分，当然要是想学完高等代数也并非不可），值得一看。还有一本鼎鼎大名的书《Linear algebra done right》中译本叫《线性代数应该这样学》的书，尽管书的作者说这是为第二次学线性代数的学生准备的，但我仍然认为这是一本讲线代的思想讲的极其清楚的书籍，并且后面有讲一些谱理论和一点算子的思想，3b1b的可视化将是你理解线性代数的利器，如果我以后给我的学生讲线代，我估计会让他们把这系列看完，然后我再给他们讲done right；第二个有趣的点在于，右手定则在更广义的拓展上来自于Grassmann algebra的反对称性（感兴趣的可以看梁昆淼的《微分几何和广义相对论》讲外积那一节，或者你可以在b站搜索“当时月影已不在”，加入我们的学习群（私信即可，记得标注自己的年级以及方向），有写的更棒的讲义，这本讲义的作者就是这位up主，代数专业的，你看了后就会明白他写的多么好了），大概先说这么多，要是后面有物理系的学生对进一步学习感兴趣的话我再稍微写写doge]
linear algebra(basis is the words we describe linear space):
1:linear combination:if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,the tip of the resulting vector draws a straight line.(an intuitive and funny explanation)
2.span: the set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given vectors is called the "span" of those two vectors.
3.linear dependent:
linear independent:
I prefer this way(since it could show all the basis have the same weight):
([doge]):
4.linear transformation(input--->output "map"):
definition:T(a+b)=T(a)+T(b)
T(ca)=c T(a)
inference:
Matrix:[T(i) T(j)] (the langue we describe the linear transformation)
"shear"(“剪切”):
Matrix--vector multiplication:
Satisfying associative law:
(M₁M₂)x=M₁(M₂x) (x是向量)
geometric way to explain it:
3-d space:
（值得一看的动漫）
5.determinant:
definition(geometrically):
PS:行列式可为负：
3-d:
PS:变换矩阵的行列式为0时，它的Columns must be linearly dependent
描述三维空间定向的方法(the famous"right hand rule"):
computing method(intuitive way):
algebraic operation(代数运算):
geometric way to explain it:
the stretching or compression of a linear space by two matrices is equivalent to the effect of the "sum matrix" on the linear space
6.solve linear system equations:
geometric interpretation:
reason:
tip:column space--->row space(linear transformation)
det(M)≠o:
可通过逆向线性变换（逆矩阵）求解
notice:the reason is it's an injective map（单射）
det(M)=0,no inverse
注：该线性变换的结果为向量，即该线性变换为“非单射”（非函数），任意升维线性变换（"raised" rank）都是“非单射”形式的（这里把Matrix比作函数可能有些误导），如对一维向量使用“升维”线性变换将会得到一个平面
（需要在transformation后存在解, "eigenvector"）
Rank（"秩"的概念）:
the dimension of the column space(
column space:the "span" of the linearly transformed vector)
null space("Kernel"，核):the span of the vectors that becomes the zero vector after the linear transformation.
非方阵：
3 by 2:
2 by 3:
7.duality property and dot product
非方阵与投影（这里以2 by 2 matrix举例）
duality property:
dot product is equivalent to the projection of the basis onto the dual vector (the geometric meaning of the dot product)
8.cross product(linear transformation and duality property) :
determinant的结果是一个number,因此它与一个三维到一维的线性变换有关（这里以三维到一维为例）
我们知道，三维到一维的线性变换可等价为“该向量”对dual vector的投影
同上，这个dual vector即为叉积的几何意义
定义linear transformation
[若考虑输入任意 "x,y,z" 向量，该计算的几何意义为该平行六面体的体积，'x,y,z'向量对v,w平面上的投影与v,w平面面积的乘积，同样的，它与对偶向量(长度为v,w的平面面积值,不带有物理意义，行列式)和"x,y,z"向量的点积等价]
9.Transformation of basis
other's language(other basis)
(PS:2,1 and -1,1 are "our language"or"our vector space".)
make 2,1 -1,1 be basis(1,0 0,1)
