【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep133】三角余弦及双曲余弦的函数特性（上）
今天继续看一些函数对应的函数方程。
76三角余弦及双曲余弦的函数特性
三角余弦（f（x）=cos ax）与双曲余弦（f（x)=ch ax）对应的函数方程：f（y+x）+f（y-x）=2f（x）f（y）——其中a>=0
（先看三角余弦的情况）
a.三角余弦（f（x）=cos x）
1.基本特性（奇偶性）
求f（0）——
当x=0时，代入函数方程得到：f（y+0）+f（y-0）=2f（0）f（y），即f（0）=0或1；
若f（0）=0，则函数为恒等式f（x）=0，所以，f（x）≠0，于是f（0）=1。
确定f（x）的奇偶性——
令y=0，则f（0+x）+f（0-x）=2f（0）f（x）=2f（x）；
于是，f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。
因为f（x）=cos ax的值域为[-1,1]，f（x）=ch ax的值域为[1,+∞），所以可以分类讨论——
情形一：f（x）<=1；
情形二：f（x）>1。
2.情形一：f（x）=cos ax——其中a>0
step1：a=n，n∈N*——
令f（c）=cos θ（0<=θ<π/2）——
求f（2c）：
由函数方程：f（c+c）+f（c-c）=2f（c）f（c）；
f（2c）
=f（c+c）
=2f（c）f（c）-f（c-c）
=2[f（c）]^2-f（0）
=2（cos θ）^2-1
=cos 2θ。
求f（3c）：
由函数方程：f（2c+c）+f（2c-c）=2f（2c）f（c）；
f（3c）
=f（2c+c）
=2f（2c）f（c）-f（2c-c）
=2（cos 2θ）（cos θ）-cos θ
=2（cos 2θ）（cos θ）-[（cos 2θ）（cos θ）+（sin 2θ）（sin θ）]
=（cos 2θ）（cos θ）-（sin 2θ）（sin θ）
=cos （2θ+θ）
=cos 3θ。
求f（4c）——
由函数方程：f（3c+c）+f（3c-c）=2f（3c）f（c）；
f（4c）
=f（3c+c）
=2f（3c）f（c）-f（3c-c）
=2（cos 3θ）（cos θ）-cos 2θ
=2（cos 3θ）（cos θ）-[（cos 3θ）（cos θ）+（sin 3θ）（sin θ）]
=（cos 3θ）（cos θ）-（sin 3θ）（sin θ）
=cos （3θ+θ）
=cos 4θ。
归纳法证明：f（nc）=cos nθ——
假设，f（nc）=2（cos （n-1）θ）（cos θ）-cos （n-2）θ=cos nθ；
则：
f（（n+1）c）
=2（cos nθ）（cos θ）-cos （n-1）θ
=2（cos nθ）（cos θ）-[（cos nθ）（cos θ）+（sin nθ）（sin θ）]
=（cos nθ）（cos θ）-（sin nθ）（sin θ）
=cos（（n+1）θ），证毕。
step2：a=（1/2^n），n∈N*——
求f（c/2）——
由函数方程：f（c/2+c/2）+f（c/2-c/2）=2[f（c/2）]^2；
f（c/2）
=[（f（c）+f（0））/2]^（1/2）
=[（cos θ+1）/2]^（1/2）
=cos（θ/2）。
归纳法证明：f（c/2^n）=cos （θ/2^n）——
假设，f（c/2^n）=cos （θ/2^n）；
由函数方程：
f（c/2^（n+1）+c/2^（n+1））+f（c/2^（n+1）-c/2^（n+1）)
=2[f（c/2^（n+1））]^2；
f[c/2^（n+1）]
=[（f（c/2^n）+f（0））/2]^（1/2）
=[（cos （θ/2^n）+1）/2]^（1/2）
=cos（θ/2^（n+1）），证毕。
step3：a=（m/2^n），m、n∈N*——
由step1、step2易得：
f（mc）
=cos mθ，
f（mc/2^n）
=cos（mθ/2^n）；
对于任何m/2^n型是正数x，由f（cx）=cos θx，m/2^n的值域为R+，所有正实数，故而对一切正实数x∈R+，f（cx）=cos θx；
又f（x）为偶函数，故而对x<0——
f（cx）=f（c（-x））=cos θ（-x）=cos θx，即对一切正实数x∈R+，f（cx）=cos θx；
f（c*0）=1=cos 0θ；
则对于一切实数x∈R，f（cx）=cos θx；
于是：f（x）=f（c（x/c））=cos θ（x/c），令a=θ/c，则f（x）=cos ax；
综上：三角余弦（f（x）=cos ax）对应的函数方程为：f（y+x）+f（y-x）=2f（x）f（y），其中a>=0。
