【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep74】子列的概念

今天开始继续聊子列的定理——

41Bolzano-Weierstrass引理

布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理：有界数列必存在收敛子列。

思路：看到有界自然会联想起来几个实数定理中的“单调有界定理”，已知数列有界，它的子列肯定也有界，只要在这些子列中存在单调的即可。

书上则应用了“闭区间套定理”来证明，闭区间套定理的应用往往配合“二分法”或者“三分法”——

已知：数列{xn}是有界数列，即对于任意自然数n，存在实数a，b使得a<=xn<=b；

求证：数列{xn}存在有界收敛子列{xnk}，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，当k>N时，有|xnk-x|<ε；

工具：闭区间套定理

方法：二分法

证明——

step1：构造闭区间套，得到对应x——

1. 已知数列{xn}是有界数列，即对于任意自然数n，存在实数a，b使得a<=xn<=b；

2. 令a1=a，b1=b，得到第一个闭区间[a1，b1]；

3. 将[a1，b1]等分成两个闭区间，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]，其中必然有一个闭区间包含数列{xn}中无限元素，（反证法）如果两个闭区间包含的{xn}中的元素都是有限的，那么这两个区间一起包含的{xn}中的元素也是有限的，而数列是无限集，得出矛盾，得证；

4. 如果[a1，（a1+b1）/2]包含数列中无限元素，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果[（a1+b1）/2，b1]包含数列中无限元素，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二个闭区间[a2，b2]；

5. 依次重复上述步骤……

6. 将[ak，bk]等分成两个闭区间，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果[ak，（ak+bk）/2]包含数列中无限元素，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果[（ak+bk）/2，bk]包含数列中无限元素，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1个闭区间[ak+1，bk+1]；

7. 将上述步骤无限进行下去，即得到一个闭区间套无限序列Im=[am，bm]，对于任意小数ε>0，存在自然数N=log2 [（b-a）/ε]+1，当m>N时，有 bm-am=（b-a）/2^（m-1）<（b-a）/2^（N-1）<ε，即lim（ bm-am）=0，这个闭区间套无限序列拥有唯一公共点x。

step2：证明x是其中一个子列的极限——

1. 构造子列{xnk}，对于任意自然数k，我们从上述闭区间序列中依次选出子列各项，即ak<=xnk<=bk；

2. 对于任意小数ε>0，存在自然数N=log2 [（b-a）/ε]+1，当k>N时，有|xnk-x|<=bk-ak<ε，即{xnk}极限为x，证毕。

就到这里！