【数学基础138】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（七）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

二阶线性微分方程——形如y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的关系式——y为未知函数，x为自变量，p（x），q（x），f（x）在（a，b）连续。

二阶线性微分方程的齐次方程——当f（x）=0，即形如y''+p（x）y'+q（x）y=0的关系式。

初值问题，给定初始条件yx=x0=y0，y'x=x0=y'0，x0属于（a，b），y0，y'0是任意常数。

问题：这个定解问题（一方面满足给定二阶线性微分方程，一方面满足给定的初值条件）是否有解？

解的存在唯一性定理：上述定解问题的解存在而且唯一。

&3.1二阶齐次线性方程解的结构

二阶齐次线性方程——y''+p（x）y'+q（x）y=0

定理：设y1（x），y2（x）是二阶齐次线性方程的两个解，则c1y1（x）+c2y2（x）也是该方程的解。

问题：两个解是不是可以表示出该方程所有的解？

回答：不是的，比如解y1（x）=x与y2（x）=2x没有实质性区别。——引入函数线性无关的概念。

定义：设 φ1（x），…… ，φm（x）是定义在（a，b）上的m个函数，如果存在不全为0的c1，……，cm，使得c1φ1（x）+……+cmφm（x）=0，x属于（a，b）就称φ1（x），…… ，φm（x）在（a，b）上线性相关，否则，称为线性无关的。