加法和乘法交换律能证明吗？

2023-07-08 17:43 作者:什么都想不明白的B哥 0人读过 | 我要投稿

在小学时，我们学过两条运算律，即

$a%2Bb%3Db%2Ba%2Cab%3Dba$

现在，值得关注的是关于这个命题的证明，有的人认为这是两条公理，把它当作是理所当然的，但事实并非如此，我们是能给出关于它们的证明的，首先是关于加法运算律的证明，过程如下

先设有两个实数 $a%2Cb$ ，设 $m$ 是前者加后者的和，有

$a%2Bb%3Dm$

再设后者加前者的和是 $n$ ，有

$b%2Ba%3Dn$

现在使用反证法来证明，若

$m%5Cneq%20n$

则两者之间必有一者比较大，设

$m%3En$

根据不等式的基本性质，在两边同时减去同一个数，仍有

$m-a%3En-a$

化简后就有

$b%3Eb$

但是，任何一个数都不可能不等于它本身，故而命题的反命题不成立，于是，命题成立，就这样给出了乘法交换律的证明 $%E2%96%A1$

同理地，我们也可以指出关于乘法交换律的证明，过程如下

设有两个实数 $a%2Cb$ ，再设前者乘上后者得到 $p$ ，有

$ab%3Dp$

接着设后者乘上前者得到 $q$ ，即有

$ba%3Dq$

若

$p%5Cneq%20q$

则当中有一者较大，设

$p%3Eq$

根据不等式的基本性质，有

$p%3Aa%3Eq%3Aa$

化简后会得到

$b%3Eb$

但是这显然是不可能的，故而原命题的反命题不成立，于是原命题成立，就这样给出了乘法交换律的证明 $%E2%96%A1$

总结一下上文，两个运算律的证明都是使用反证法来证的，这说明，反证法在基础代数的证明方法中是及其常用的

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