关于极点极线的一般结论的硬算美学

这是高三的时候数学老师某天忽然说出的小任务，意思是我们熟知的极点极线半代入的结论是可以在直角坐标系里面硬算出来的。然后我很感兴趣就算了一下 ，发现这是一个对于高中数学计算能力非常有意义的训练。 马上大学就快开学了，结果又忽然被阑尾炎背刺，好不容易从医院爬起来，才想起一直想要重新算一下这个，于是就有了今天的文章。（纯属作者发癫，也许对高中数学有一定参考作用） 这是高考前的版本（比较草率，可以先看后面的版本，这个可能会好懂一点）

这个版本比较聪明的是，一开始算直线的时候就用了和差化积，在后面算交点的时候比较方便，失误的点是最后算那一大坨分母的时候没有直接换元看出同构，就麻烦了一些。另外，这个大概半个小时就算完了，所以也写的比较花，而且因为在学校里，算这种比较浮躁。还请谅解。 这个是补档的版本（这个顺便把用的一部分二级结论写了出来，当然三角恒等当做已知就没有写） 感兴趣的同学可以把这个当做一个有趣的习题自己算一下，你做完这个三角恒等就都会了，圆锥曲线的几个好用的速算公式会了，心态还好了，何乐而不为～

（第三页的“子母”应该是“字母”，不过好像理解成分子和分母也可以） 这个版本比较笨的是一开始没有直接和差化积，是到算交点才发现比较麻烦，剩下的诸如看出平方差、换元、看出同构的就比较自然了。 当然，关于极点极线的一般情况可以用曲线系比较容易的整出来，要看的话去知乎上找大佬吧，这个对于曲线系以及调和点列的理解有很大的帮助。 看了上面的证明后并不会对极点极线怎么用有帮助，我就顺便说一下极点极线的结论怎么用（这个可能比较多，以后有时间慢慢补充没说的）高考是不可能直接考察你这种的，毕竟出卷人不用奇技淫巧也不一定会算，所以一般会考特殊情况。

再看一下上图，一种情况就是让BD直接是x轴（或者y轴），Q在定直线上，证明AC过x轴（或者y轴）上一个定点（怎么样是不是很熟悉，这是20年一卷的解析几何）。 这样的话计算就变得比较容易了，可以采用如下的方法。（这样的困难来自非对称）

看完后你就知道为什么出题人会把这一根线放在坐标轴上了。当然此题也是方法极多，这只是其中一种，若感兴趣的话，我下次补档。 最后奉上圆锥曲线几乎必背的公式（高考只要是能变成对称的圆锥题最后都是背） ～硬解定理～

初见的同学可能会觉得这个比较难记，其实仔细看发现规律这个还是很好记的，记熟后关于对称的式子的计算都可以背诵了。然后需要注意以下几点： 1，式子中的a^2,b^2都是位置（不具有几何意义），所以若是双曲线只需要把b^2换成 -b^2就可以了。 2，如果直线设的是横截式，只需要把（所有的）x，y换位置，并且（所有的）a，b也得跟着换位置就可以了（这个一开始很容易错，需要训练多次） 3，遇到a,b有公因数的时候要小心，如果你怕错就先不要化简，按照公式先背完再化简，当然熟悉了也可以边算边化简。 4，再次强调，一定不能因为是背的就不写方程，方程的话可以根据写出来的两根和与两根积来写（参考初中的韦达定理应用），还要记住一般都给它把判别式加上，老师也就不好挑你的错误了。 5，…… 开学前发癫就到这里了吧，也希望可以和同学们在清华园相见。