美丽的摆线及其数学原理
最近看了有位昵称为“帆雨动画”的up主的科普视频，其中的许多直观的科普动画让观众赏心悦目。而从中挖掘出美妙的数学原理也是一件很有趣的事。下面主要来讲讲有关摆线的数学原理。
(1)摆线、次摆线
摆线：
我们可将运动过程分解为圆上一点匀速圆周，同时圆心向右做匀速直线运动
设圆方程为：，圆上一点从(0,-1)开始顺时针转动，其坐标为：
即
转过的弧长为
将圆心至，此时动点平移至
∴摆线的参数方程为：
其中α为参数
如上图所示，取过该动点及动圆圆心的直径，可知该直径上的点在运动过程中的相对位置是不变的
取以圆心为起点，上述圆周上该动点为终点的向量
将其进行伸缩得：
其中λ∈[-1,1]
伸缩后向量终点坐标为:
∴次摆线的参数方程为：
其中α为参数
下面是对圆上一直径上的几个点的轨迹示踪图：
其中圆周上的红点和紫点的轨迹为摆线，其余的为次摆线
ps:上图用desmos制作，desmos可添加a=rgb(数字1,数字2,数字3)添加颜色(a换成其他字母也行)，颜色的参数可参考网址：https://tool.oschina.net/commons?type=3
取一个周期2π研究运动轨迹长度：
特别地，当λ=0时，L=2πr，即圆心的运动路径长;
当λ=1时，
∵α∈[0,2π]
∴sin(α/2)≥0
即摆线路径长为8r;
λ=-1时同上；
若λ∈(-1,1)，则轨迹为次摆线，积分无初等解(涉及到椭圆积分，跟椭圆周长的积分式类似)，不能求出精确长度
(2)外摆线、内摆线
在此之前想先提及下所谓的“硬币悖论”：“有大小相同的两枚硬币，固定一枚硬币不动，将另一枚硬币贴着固定的硬币滚动一周回到原位，问运动的硬币转了几圈？”
首先有一点是确定的，也就是滚动过程中下图所示的两段弧相等
也就是说滚动一周动圆的圆周才能被完整地接触一次
而为什么我们看到的却是转了2圈呢？我认为用参考系来解释合理很多。
下面分享一位网友的思路图：
大致意思如下，转动过程中，相接触过的弧PM=弧PM'，因此动圆相对于切点P转过的弧度为θ(即∠PC'M')，也就是若我们始终认为过P点的公切线是水平线，那么就是“一圈”。
而图中圆心相对于x轴的偏转角为2θ(即∠C'Ox+∠OC'M')，即圆心相对x轴的偏转角是相对过P点切线的偏转角的2倍，因此以定圆或x轴为参考系那么就是"两圈"。
所以不用为答案是“一圈”还是“两圈”纠结了，关键是参考系的选取
只要明白“滚过的弧长相等”的含义以及参考系的选取思路就清晰了，下文的求解需用到“相对于切点的转动”这一论述。
下面回到主题上，
外摆线：
其中滚过的弧长相等(标红的两段弧相等)
设定圆半径为r1,动圆半径为r2
定圆方程为：
考虑到旋转用复数较好表示坐标，于是建立复平面进行研究
切点对应复数为
由于两圆外切，则动圆圆心对应复数为
由(r,0)开始滚过的弧长为
则动圆相对于切点转过的弧度为
取由动圆圆心指向切点的向量，对应复数：
将该向量逆时针旋转得：
故动点坐标对应的复数为：
用欧拉公式化为三角形式得：
实部和虚部分别对应参数方程的x,y值
故外摆线参数方程为：
其中α为参数
作出轨迹示踪图：
取不同的r1和r2可绘制出各种美丽的图案
内摆线：
其中滚过的弧长相等(标红的两段弧相等)
设定圆半径为r1,动圆半径为r2(r1>r2)
定圆方程为：
切点对应复数为
由于两圆内切，则动圆圆心对应复数为
由(r,0)开始滚过的弧长为
则动圆相对于切点转过的弧度为
取由动圆圆心指向切点的向量，对应复数：
将该向量顺时针旋转得：
故动点坐标对应的复数为：
用欧拉公式化为三角形式得：
实部和虚部分别对应参数方程的x,y值
故内摆线参数方程为：
其中α为参数
作出轨迹示踪图：
取不同的r1和r2可绘制出各种美丽的图案
拓展一下，观察曲线参数方程的解析式可知，摆线和次摆线可由一“匀速圆周运动”和一“匀速直线运动”叠加绘制出；而外摆线和内摆线可由两“匀速圆周运动”叠加绘制出，多个匀速圆周运动叠加绘图也是傅里叶变换绘图中所用到的。还有许多美丽的几何有待去研究，还有许多数学知识有待去探索和发掘，让我们尽情在数学世界里遨游吧~
