【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第二章一元一次不等式

§2-1不等式

【01】在第一章里，我们已经学过，用等号连结两个代数式所成的式子，叫做等式。现在来研究用不等号 “＞” 或者 “＜” 连结两个代数式所成的式子。

1、不等式的意义

【02】在代数第一册里，比较有理数大小的时候，我们用过 3＞－1，0＞－2，－12＜－9，7＜13 等来表示两个数之间的大小关系。为了表示两个代数式的值的大小，我们也可把这两个代数式用不等号 “＞” 或 “＜” 连结起来。例如，a＋1＜3，a＋5＞a＋1，x－2＞7，(x－5)/2＜1/2 等式子分别表示不等号左边的式子的值大于或小于不等号右边的式子的值。

【03】象这样，用不等号 “＞” 或者 “＜” 连结两个代数式所成的式子，叫做不等式。

2、绝对不等式和条件不等式

【04】在不等式 a＋5＞a＋1 里，我们可以看到，不论 a 取任何数值，这个不等式总是成立的。例如，a＝3 的时候，得到 8＞4；a＝0 的时候，得到 5＞1；a＝－2 的时候，可以得到 3＞－1  。

【05】但是，在不等式 x－2＞7 里，我们可以看到，x 只有取大于 9 的数值，这个不等式才能够成立。例如，当 x＝10 时，这个不等式成立；而当 x＝4 时，这个不等式就不成立。这就是说，前一个不等式里字母可取的值不受任何限制，而后一个不等式里字母可取的值却受到数值范围的限制。

【06】如果不论用什么数值代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫做绝对不等式。例如，x＋7＞－1，a－2＜a＋5，a²＋1＞ 0 等等，都是绝对不等式。

【07】两边都是数字而能够成立的不等式，也叫做绝对不等式。例如，7＞2，3＞0，－5＜－4 等，也都是绝对不等式。

【08】如果只有用某些数值范围内的数值代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫做条件不等式。例如，3x＞1，x＋1＞0，3x－5＜x/2 等等，都是条件不等式。

例1.判断下列不等式中，哪些是绝对不等式？哪些是条件不等式？为什么？

(1) 2a＋9＞2a－3；

(2) x＋1＞0；

(3) x²＋1＞0；

(4) |－2|＜|5|；

(5) |a|＞0  。

【解】

        (1) 因为不论 a 是什么数值，这个不等式总是成立，所以不等式 2a＋9＞2a－3 是绝对不等式。.

        (2) 因为 x 只有取大于－1 的数值，这个不等式才能够成立，所以不等式 x＋1＞0 是条件不等式。

        (3) 因为不论 x 是什么数值，x² 都不是负数，因此，x²＋1 的值总是大于零；这就是说，不论用什么数值代替不等式 x²＋1＞0 中的 x，这个不等式都能够成立，所以不等式 x²＋1＞0 是绝对不等式。

        (4) 因为 |－2|＝2，|5|＝5，而 2 一定小于 5，所以不等式 |－2|＜|5| 是绝对不等式。

        (5) 因为只有当 a 是正数或者负数时，|a| > 0；面当 a＝0 时，|a|＝0，不等式 |a |＞0 不成立，所以不等式 |al＞0 是条件不等式。

【09】在条件不等式里，字母的可取值既然受到数值范围的限制，我们就有必要求出字母应该取什么范围内的数值，才能使这个不等式成立。

【10】在含有字母的不等式里，求出字母应该取什么范围内的数值，才能使不等式成立，叫做解不等式，这里的字母叫做不等式的未知数。

【11】所求出的使不等式能够成立的未知数的数值范围，叫做不等式的解。例如在上面所举的例子中，不等式 x＋1＞0 的解是大于－1 的数值；不等式 2a＋9＞2a－3 的解是任何数值。

例2.通过观察，确定下列不等式的解：(1) x－2＜0；(2) x²＞0  。

【解】

        (1) 当 x 取小于 2 的任何数值，这个不等式才成立，所以不等式 x－2＜0 的解是小于 2 的数值。

        (2) 不论 x 是什么数值，x² 都不是负数，只有当 x 等于零的时候，x² 等于零，所以不等式 x²＞0 的解是除去 x＝0 以外的数值。

【说明】在一元一次方程中，我们说过，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。但是在不等式里，并没有这样的规定，只能说不等式的解。

习题2-1

1、用不等号 “＞” 或者 “＜” 连结下列各题中的两个式子：

(1) 5 和 3；【5＞3】

(2)－5 和－3；【－5＜－3】

(3) 5 和－3；【5＞－3】

(4) －5 和 3；【－5＜3】

(5) |5| 和 |3|；【|5|＞|3|】

(6) |－5| 和 |－3|；【|－5|＞|－3|】

(7) |－5| 和 3；【|－5|＞3】

(8)－5 和 |－3|；【－5＜|－3|】

(9) x＋7 和 x＋2；【x＋7＞x＋2】

(10) 2a－5 和 2a－9；【2a－5＞2a－9】

(11) 2x－3 和 2x＋1；【2x－3＜2x＋1】

(12) 3a－2 和 3a＋11  。【3a－2＜3a＋11】

2、

(1) (x＋2)²＞0 是不是绝对不等式？为什么？[提示：要考虑 x＝－2 时，结果怎样？]

(2) 为什么说，|a|＋1＞0 是绝对不等式？

3、判断下列不等式中，哪些是绝对不等式？哪些是条件不等式？为什么？

(1) 5a－8＜5a＋2；

(2)－a＋7＞－a＋3；

(3) 3a²＋2＞0；

(4) x－1＜0；

(5)－x²－1＜0；

(6) 2x－4＞0；

(7)－3x＞5；

(8) |－9|＞|2|  。

【(1)、(2)、(3)、(5)、(8)都是绝对不等式，(4)、(6)、(7)都是条件不等式】

4、通过观察，确定下列不等式的解：

(1) x－5＞0；【x＞5】

(2) x－5＜0；【x＜5】

(3) x＋7＜0；【x＜－7】

(4) x＋7＞0；【x＞－7】

(5) x²＋3＞0；【任意数】

(6) (x＋3)²＞0  。【除－3 之外的任何数】