分享 一个无穷级数发散的证明

我想用几何的方式证明如下无穷级数是发散的：

首先，我们对这个无穷级数进行更为简明的描述，即该无穷级数等于所有自正整数的倒数的和，如果要用一种能令没有学过无穷级数的人也能理解，我们这么写：

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5……+1/n

嗯，看样子这令人头痛，乍看似乎这的确应该是收敛于某个确凿存在的数的。但是我们的学识告诉我们，这个无穷级数的演技极其精湛！但就是没有逃过狡猾的数学家们的手掌！

那些狡猾的数学家总是会把一些外表美丽的想法戳穿！揭露出它们最为真实的一幕！

废话就不多说了。看以下函数图像：

该函数图像是关于f（x）=1/x函数的图像，现在，我们不去看当x＜0的时候的图像，只观察该图像的右上方，也就是x≥0的部分。我们希望在x轴上取一个定点a，假设a就处在5的位置，然后求出此时右上部分的面积。

我们利用定积分，不难得出，该图像右上方部分在[0，a]区间的图像面积S，如下：

根据计算，我们最后得出这个面积是所有正整数的倒数的和，并用极限写出，即：

此时，我们想想。这个数的如果有极限，可能吗？显然不可能！为什么呢？因为x在趋近于0的时候y同时趋向无穷大，这就说明，当x=0的时候，y对应的值会一直延伸延伸延伸，延伸到比无穷大还要大，还要更大更巨大的数。这个数，永远不会呈现在函数图像中。也就是说，y值不会把图像封边！也就是说！这个图像，根本就不是一个可以求出面积的图，因为它甚至不是一个图形，只是一条两边永远都不与坐标轴相遇的曲线。

那么，既然这个图没有被封边，这意味着什么？这不就意味着，这个所谓的“面积”是一个需要一直加一直加但永远不会有个确切的收敛值的数吗？

那这个数的性质如何呢？既然不会收敛，那不就意味着，这个数是发散的吗？

所以我们由面积不可求值，明白，

并没有极限，是发散的，从而明白，

也是发散的，这我们就利用了几何的方法来证明这个级数是发散的。

看样子几何的确是一个非常好用的数学工具。

然而，这其中也同样牵涉到定积分的用法。