《几何原本》命题5.17【夸克欧氏几何】

命题5.17：

如果四个量成比例，那么它们也成更比例

 

已知：AB：BE=CD：DF

求证：AE：BE=CF：DF

解：

作GH,HK,LM,MN，使AE：GH=BE：HK=CF：LM=DF：MN

（公设1.2＆命题1.3）

作OK,NP，使BE：OK=DF：NP

（公设1.2＆命题1.3）

证：

∵AE：GH=BE：HK

（已知）

∴AE：GH=AB：GK

（命题5.1）

∵AE：GH=CF：LM

（已知）

∴AB：GK=CF：LM

（命题5.1）

∵CF：LM=DF：MN

（已知）

∴CF：LM=CD：LN

（命题5.1）

∵AB：GK=CF：LM

（已证）

∴AB：GK=CD：LN

（命题5.11）

∵BE：HK=DF：MN，BE：OK=DF：NP

（已知）

∴BE：HO=DF：MP

（命题5.2）

∵AB：BE=CD：DF

（已知）

∴如果GK＞HO，那么LN＞MP

如果GK=HO，那么LN=MP

如果GK＜HO，那么LN＜MP

（命题5.14）

∴如果GK＞HO，那么LM＞NP

（命题5.6）

同理可证，如果GK=HO，那么LM=NP

如果GK＜HO，那么LM＜NP

∵AE：GH=CF：LM，BE：OK=DF：NP

（已知）

∴AE：BE=CF：DF

（定义5.5）

证毕

此命题将在下两个命题中被使用

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