正式进入积分内容

第一节  定积分的定义

    如果有函数y=f(x), 选取两个在f(x)上的点a, b.分别往x轴作垂线（x=a;x=b）那么x=a;x=b和f(x)所围成的面积称为定积分

    可以用这个符号表示定积分

    

    读作：函数f(x)对于x从a到b的积分（式中的dx表示对x进行积分，仅此而已）

    而且积分的定义式为：

为什么极限中的n->∞？因为在这里n表示n个子区间，子区间越多，那么定积分的值就越精准，当n->∞，那么就有精确的定积分值！

第二节 定积分的性质

1. 正负性

   积分有正负，比如三角函数sinx在[0, 2π]的图像

我们注意到在[0,π]中，f(x)在x轴的上方，即积分为正

在[π,2π]中，f(x)在x轴的下方，即积分为负

在这里扯一点物理，对于位移，有

可对于路程，就有

2. 运算法则

(1) 

(2)

(3)

(4)

(5)

第三节 利用定义求定积分

例如我们要求

该如何利用定义求解呢？

首先，我们需要把[0,2]区间分成n个子区间，而且每个子区间的长度都是相同的。

因为总长度为2，所以每个子区间的长度都是2/n

第一个子区间是[0,2/n],第二个子区间是[2/n,4/n]......以此类推

显然，如果每个子区间是2/n，那么x(i)=2i/n；x(i-1)=2(i-1)/n

确定了x(i)和x(i-1)以后，就该确定C(i)

为了计算方便，一般取C(i)=x(i)=2i/n   (因为C(i)在f(x)内，所以一般而言都可以让C(i)=x(i))

现在就该使用公式了，考虑求和

化简，得到

提出与虚拟变量i无关的量，就得到

根据求和公式，得到

接下来就是取极限，代入得到

求得极限

即

disa
骚年，莱希提

习题