一哥 | 立体几何位置关系

1️⃣线面平行

方法一：证明线面平行

证明l平行于α：

• 在α中找到一个线m【m⊂α】
• l平行于线m【l//m】
• l不在面α上【l⊄α】

推出来l//α

方法二：用面面平行过度

其中一个面内任意一条直线都平行于另外一条面

2️⃣面面平行

方法一：通过线线平行过度

在上面找两条相交直线l、m

在上面也找两条相交直线l'、m'

l与l’平行，m与m’平行

两条相交直线确定一条面

P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，对角线AC与BD相交于点O，求证：PC//平面BDQ

QO是△APC的中位线

PC // QO

QO⊂平面BDQ

PC⊄平面BDQ

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD上平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.

（III）求证：EF//平面PCD.

作PC的中点T

FT //= ½BC //= ½AD //= DE

∴四边形EDTF是平行四边形

EF // DT

DT⊂面PDC

EF⊄面PDC

由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥C₁-B₁CD₁后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A₁E⊥平面ABCD

（I）证明：A₁O/平面B₁CD₁

作B₁D₁中点T，连接CT

A₁T //= ½AC //= OC

（II）设M是OD的中点，证明：平面A₁EM⊥平面B₁CD₁

B₁D₁ //= BD

∵B₁D₁ ⊥ ME，A₁E⊥B₁D₁

∴D₁B₁⊥面A₁EM

∴平面A₁EM⊥平面B₁CD₁

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点

（I）求证：BD⊥平面PAC

BD⊥AC，BD⊥AP，AC和AP相交于面PAC

∴BD⊥平面PAC

（II）若∠ABC=60°，求证：平面PAB工平面PAE;

∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥AB，PA⊥AE

因为∠ABC=60°，AB=BC

∴BA⊥AE

∵BA⊥AE，EA⊥AP，AP∩AE

∴EA⊥面ABP

∵EA⊂面PAE，EA⊥ABP

∴EA⊥面ABP

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由.

作BP中点为T，PA中点为S

证明TS //= CE

3️⃣线面垂直

• 一个线垂直于面内两条相交直线
• 两个面垂直，一个线垂直于两个面的交线，那么垂直于另外一个面

4️⃣面面垂直

• 如果一个线垂直于一个面，过这个线的任意一个面都垂直于这个面
• 两个面的法向量垂直

5️⃣线线垂直

平移

利用线面垂直

三垂线定理