20世纪数学经纬 张奠宙著 4 积分学的革命 ——勒贝格和他的积分论
微积分从它诞生那天起，就专门处理光滑曲线和可导函数. 我们通常所接触的初等函数，在其定义域内都可导，而且无限次可导.到了复变函数论，更考虑解析函数，不仅无限次可导，而且能展开成由各阶导数组成的泰勒(Taylor)级数. 就实用的目的而言，假设一个函数可导是毫不过分的，至于不可导函数，似乎并无研究的必要.可是，数学作为一种意识形态，一旦从实际问题中抽象出来，便具有相对独立性. 理论上的需要，逻辑上的完整的原则，迫使数学家们去考虑一种病态函数. 1872年7月18日，长期任中学体育教师的德国大数学家魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，给出了一个处处连续、但处处不可导的函数： f(x)= \sum \limits _{n=0}^{ \infty }b^{n} \cos (a^{n} \pi x). （注：用latex格式展示，下同例） 在人们的直观想象中.连续曲线总是有切线的(除了有限个点以外).魏尔斯特拉斯构造的病态函数使人大吃一惊. 1875年，法国数学家达布证明，不连续函数也可以求定积分，而且不连续的点可以有无限多个，只要它们包含在长度可以任意小的有限个区间之内就行. 这又是一大类怪函数. 狄利克雷在研究三角级数时，又举出了在无理点上取值0、在有理点上取值1的极端病态函数，它是黎曼意义下不可积分函数的最简单的代表. 这些病态函数的出现，破坏了18世纪古典数学的优美(这种优美简直“像在天堂里一样”)，人们究竟该如何对待它? 一种批评意见很快就出来了. “这是一种变态的不健康的函数”，“它是无秩序和混乱的标志”，“一种学究式的数学游戏”.用现代的语言来说就是“脱离实际的空洞的抽象理论”. 其中大数学家庞加莱尤其怀疑这种新理论. 他说： “逻辑有时候产生怪物.半个世纪以来我们已经看到了一大堆离奇古怪的函数，它们被弄得愈来愈不像那些能解决问题的真正函数.多一点连续性或少一点连续性，多几阶导数，如此等等.诚然，从逻辑的观点看来，这些陌生的函数是最一般的；另一方面，不用去找日常碰到的函数以及遵从简单规律的函数却是另一种情形，这种情形仅只是函数中的一小角. “过去人们为了一个实际的目的而创造一个新的函数；今天人们为了说明先辈在推理方面的不足而故意造出这些函数来. 而从这些函数所能推出来的也就是仅此而已.”[1] 庞加莱的话当然是举足轻重的，病态函数研究的作用只能是对父辈“吹毛求疵”，“仅此而已”，岂不令大批的后学望而却步?但是，真理并不因为权威的话而变得停滞不前.就在庞加莱的祖国——法兰西，一位二十多岁的青年——勒贝格(Henri Leon Lebesgue, 1875~1941),不声不响地研究各种病态函数，终于导致了一场积分的革命！ 勒贝格 1875 年出生于法国东北部的博韦(Beauvais). 他在那里读中学. 1894~1897年进入著名的法国巴黎高等师范学校攻读数学,这时受到波莱尔(Felix-Edouard-Justin-Emile Borel,1871~1956)数学思想的薰陶. 毕业后他回南锡，在一所公立中学教书.这时他潜心研究三角级数以及测度和积分. 1902年，勒贝格发表《积分，长度与面积》一文，第一次系统地阐述他关于测度和积分的思想.同年，他在索尔本(Sorbonne) 巴黎大学理学院通过了博士学位(仍在南锡任教员).使勒贝格成名的两本专著是：《论三角级数》(1903)和《关于积分法和原函数研究的讲义》(1904). 积分革命首先从长度概念的扩充入手.众所周知，函数的定积分从分割区间为有限个子区间开始，然后将子区间长度乘以该子区间内的某点函数值并作和.当分点加密，子区间长度趋于0时，积分和的极限就是定积分. 波莱尔在19 世纪就考虑：区间有长度，其他点集是否也可以波莱尔 有长度?直线上的开集可以表示为一列开区间之和，就以这列区间长度之和为该开集的“测度”，开集关于某区间的余集是闭集，于是闭集的测度定义为区间长度减去开集的测度.直线上任意一个点集E，若用开集G包起来，则认为E的测度小于G的测度. 这种外包的开集G可以有很多，它们的测度的下确界叫做E的外测度. 同样，用闭集F从内部填E，把所有可以填进去的闭集的测度的上确界叫做E的内测度.一个集合E的内测度和外测度相等，则称为E有测度.这样一来，直线上一列点的测度是0，因为外包的一列区间长之和可以任意小，这只要考虑用长为ε/2,ε/（2^2）,⋯,ε/（2^n）,⋯的一列区间去包，而它的长度是 \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac { \varepsilon } { 2 ^ { n } } = \varepsilon . 由这一结论，立刻可知[0，1]中的有理数全体构成的点集有测度0(有理数集是可列集). 这套思想，即所谓确定面积的内填外包法，本来导源于直观的数方格子的方法，波莱尔用以确定点集的容量.勒贝格将这套想法更加一般化，构造了一种可列可加测度，使人耳目一新.接着，勒贝格定义一种积分，把f(x)定义的区间[a，b]分为若干个勒贝格可测集，然后同样作积分和，原来分子区间时的积分和如果不收敛，现在用分可测集的方法就可能会收敛，于是按黎曼意义不可积的函数，按勒贝格意义却变得可积了，这当然是一个巨大的突破. 勒贝格积分一出现就用来研究三角级数，很容易地得到了许多重要定理，改进了到那时为止的函数可展为三角级数的充分条件. 紧接着导数概念也得到了推广，微积分中的牛顿一莱布尼茨公式也得到了相应的新结论，一门微积分的延续学科——实变函数论在勒贝格手中诞生了. 勒贝格的工作一开始并未得到人们的一致赞成，反对病态函数的人到处都有. 勒贝格在回忆录中提到：“只要我试图参加一个数学讨论，总会有些分析学者对我说：‘这里不会使你感兴趣，我们在讨论有导数的函数.’或者一位几何学家说：‘我们在讨论有切平面的曲面.’”[2]当时批评病态函数最严厉的是法国数学家埃尔米特. 他在一封信中说：“我怀着惊恐的心情对不可导函数的令人痛惜的祸害感到厌恶.”这种厌恶感传染给了很多人，给勒贝格带来很大的精神压力.由于并不被很多人支持，勒贝格从发表第一篇论文的 1902年起，近十年中始终没有在巴黎获得职务.直到1910年，他才被同意进入巴黎大学理学院，1921年起才进入法兰西学院任教授，次年进入巴黎科学院.这时他47岁，离开发表第一篇论文时的27岁，已整整过了20年. 到20世纪的30年代，勒贝格积分已经成熟，并已在概率论、谱理论、泛函空间等方面获得广泛应用.时至今日，连工程师也不得不接触这些病态函数，谈论抽象积分了.历史是一面镜子.病态函数当年曾经被认为是“脱离实际”、“令人厌恶”的东西，可是日后却成为研究概率论的犀利工具.科学体系中内部矛盾所提出的理论问题，有时会成为这门学科的生长点，谁能抓住它，谁就会赢得科学研究的主动权.当然也并不是越抽象越一般越好. 勒贝格就曾经这样告诫自己：“搞出过于一般的理论，数学将会变成没有内容的漂亮的形式，而这将会很快死亡.”[3]确实，不少曾经轰动一时的研究，不久就成了过眼烟云，在历史上并无多少影响.善于分析掌握数学发展的动态，把握其生长点. 这大概是一门学问——“数学学”吧! 参考文献
[1] Poincare H. l’Enseignement Mathématique. 1899, 1: 152~162 [2] Lebesgue H. Notice su r les travaux scientifiques de M. HenriLebesgue. Toulouse: Edouard Privat, 1922 [3]同[2]
