【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第二章三角形——三角形和它的内角和 

§2-2三角形的内角和

【01】三角形的角也叫做三角形的内角。三角形的三个内角的和是几度呢？

【02】我们用纸剪成一个任意三角形，把其中的两个角剪下来拼到第三个角上去（图2·7），可以看到，∠3 和 ∠1 的外边几乎是一直线，这样我们就找到了命题：三角形的内角和等于 2d  。由此得出：

【03】三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于两个直角（180°）。

【04】下面我们来证明这个定理。

【已知】△ABC（如图2·8）。

【求证】 ∠A＋∠B＋∠ACB＝2d  。

【分析】要证明三角形三内角的和是 2d，我们可以根据上面拼角实验的结果，把 BC 延长到 D，则 ∠ACB＋∠ACD＝2d  。那么只要能够证明 ∠ACD＝∠A＋∠B 就可以了。

【证】延长 △ABC 的一边 BC 到 D，过 C 画 CE//BA，根据平行线的性质，有

        ∠B＝∠2（平行线的同位角相等），

        ∠A＝∠1（平行线的内错角相等）。

        ∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝2d  。

【05】从定理的证明过程可知 ∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B，立即可以推出另一条定理，就是：

【06】三角形的外角定理：三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和。当然大于它的任何一个不相邻内角。

【07】我们从三角形三内角的和等于 2d，就可以推知三角形的三个内角中，至多只能有一个直角或者一个钝角。

【08】现在我们又可根据角的大小把三角形分类：

【09】三角形的三个角都是锐角的，叫做锐角三角形（图2·9）。

【10】三角形中有一个直角的，叫做直角三角形（图2·10）。

【11】三角形中有一个钝角的，叫做钝角三角形（图2·11）。

【12】在直角三角形中，夹直角的两边都叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。

例1.直角三角形的两个锐角的和是几度？

【解】因为三角形三个内角的和等于两个直角，而直角三角形中除了两个锐角外还有一个直角。从此可以算出两个锐角的和等于一个直角。也就是直角三角形的两个锐角互余。

例2.如图2·12中，AB//CF，AD 与 BC 相交于 E，CDF 是直线，∠B＝45°，∠CED＝93°。求∠EDF。

【解】

        已知 ∠EDF 是 △ECD 的外角，因此 ∠EDF＝∠CED＋∠C，

        又因 AB//CF，

        ∴ ∠C＝∠B＝45°

        由题设 ∠CED＝93°，

        ∴ ∠EDF＝93°＋45°＝138°

        答：∠EDF＝138°  。

例3.如图2·13，已知 ∠BED＝∠B＋∠D  。求证 AB//CD  。

【分析】要证明 AB//CD，先可延长 BE 交 CD 于 F，只要能证得 ∠BFD 等于 ∠B 就可以了，而 ∠BED 是 △EPD 的外角，可知 ∠BED＝∠1＋∠D  。从此可以证得 ∠1＝∠B  。

【证】延长 BE 交 CD 于 F，则 ∠BED 是 △EFD 的外角，因此 ∠BED＝∠1＋∠D（三角形的外角等于它的不相邻两内角之和），

        又 ∠BED＝∠B＋∠D（已知），

        ∴ ∠1＝∠B，

        ∴ AB//CD（内错角相等则两线平行）

例4.如图2·14中，ED⊥OA，EF⊥OB  。求证 ∠O＝∠E  。

【分析】已知 △PEF 和 △PDO 都是直角三角形，要证 ∠O＝∠E，只要能证得 ∠1＝∠2 就可以了，但它们是对顶角，故而相等。

【证】在直角 △PEF 中 ∠EFP＝90°，从三角形内角和定理得 ∠E＋∠1＝90°，即 ∠E＝90°－∠1  。

        在直角 △PDO 中 ∠PDO＝90°，同理得 ∠O＝90°－∠2  。

        但是 ∠1＝∠2（对顶角相等），

        ∴ ∠O＝∠E  。

例5.三角形的三个外角之和是几度？

【已知】∠1，∠2 和 ∠3 是 △ABC 的三个外角（图2·15）。

【求】∠1，∠2，∠3 的和。

【解1】因为 ∠1，∠2 和 ∠3 是 △ABC 的外角，则有

        ∠1＋∠ABC＝2d，

        ∠2＋∠BCA＝2d，

        ∠3＋∠CAB＝2d  。

        三式相加，得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠ABC＋∠BCA＋∠CAB＝6d  。

        但是 ∠ABC＋∠BCA＋∠CAB＝2d（三角形的三内角之和）

        ∴ ∠1＋∠2＋∠3＋2d＝6d，

        即 ∠1＋∠2＋∠3＝4d  。

【解2】

        应用外角等于它不相邻两内角和性质，得

        ∠1＝∠BAC＋∠ACB，

        ∠2＝∠BAC＋∠ABC，

        ∠3＝∠ABC＋∠ACB  。

        三式相加，得 ∠1＋∠2＋∠3＝2(∠BAC＋∠ACB＋∠ABC)，

        因为 ∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝2d（三角形的三内角之和）

        ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝4d  。

        答：三角形的三个外角之和等于4d（360°）。

【注意】本例所说的三角形的三个外角的和，是指每一个顶角的一个外角，即 ∠1，∠2 和 ∠3  。以后称三角形的外角和，就是指这祥的三个角的和。

习题2-2

1、已知 △ABC 中的 ∠A＝37°30'，∠B＝95°  。求 ∠C  。【47°30′】

2、在 △ABC 中，已知 ∠A＋∠B＝74°18'，∠A－∠B＝23°42'  。求 ∠A，∠B 和 ∠C  。[提示：先从已知条件求出 ∠A 和 ∠B，再求 ∠C]【∠A＝49°，∠B＝25°18'，∠C＝105°42'】

3、在直角三角形中，已知它的一个锐角等于 25°，另一个锐角是几度？一个锐角等于 30°呢？是 45° 呢？【65°，60°，45°】

4、如图，∠B＝∠C＝45°，又 AE 是外角 DAC 的平分线。求 ∠1 和 ∠2 的度数。AE 和 BC 有什么关系？【∠1＝∠2＝45°，AE//BC】

5、在锐角三角形中，最小的锐角能大于 60° 吗？能等于 60°吗？【不能，能】

6、三角形的一个内角正好等于其余两个内角之和，这是哪一种三角形？【直角三角形】

7、三角形的三个内角度数的比是 2:3:4，这是哪一种三角形？[提示：先算出各角的度数，再定它是哪一种三角形]【锐角三角形】

8、如图，求证 ∠1＋∠2＝∠3＋∠4  。[提示：延长 AD 与 BC 使相交]

9、如图，求证 ∠1－∠2＝∠3－∠4  。[提示：∠1－∠2＝∠3－∠4 就是 ∠1＋∠4＝∠3＋∠2]

*10、如图，已知 ∠1＝27°，∠2＝95°，∠3＝38°  。求 ∠4  。[提示：应用三角形的外角定理]【∠4＝20°】

11、如图，AE//BD，∠1＝95°，∠2＝28°  。求 ∠C  。【∠C＝67°】

12、三角形的三个外角中最多可有几个钝角？几个直角？几个锐角？[提示：应该与三角形的内角有几个锐角、直角、钝角联系起来想]【3个，1个，1个】