《二卷》对称的能动密度张量推导

朗道和利弗希兹在《二卷》的里给出了对称的能动密度张量的表达式，这里我尝试用微分几何和Noether定理来给出说明。

一. 张量密度及其导数

为了之后方便表述， 先给出张量密度的概念。

由微分流形上的积分理论可知，在度规张量场下，4维Semi - Riemannian流形下的体元可以表示为， 这里度规不一定是正定的，因此取绝对值。则标量的积分可写为， 其中称为标量密度，一般张量密度可表示为，以上加tilde表示。

记在该度规下协变导数为，则根据联络系数和度规分量的关系，可以导出如下的关于张量密度的散度公式：

，，其中协变导数用分号表示，普通偏导用逗号表示，下文记法一致。

同时还有高斯公式等，这里不再叙述。

二. 物质场作用量等的变分

配合书里的内容，记物质场作用量为，其中为拉格朗日量标量密度。在局部坐标系下，变量分量形式为，其中为物质场的运动量，为场度规在坐标系下的分量。

现在考虑无穷小坐标变换，由系变为系，为微小变量，是一个光滑切向量场在局部坐标系下的分量。

按如下方式定义量的变分：考虑坐标变换导致的差值，设生成的单参数变化群为，系 - 系变换为其诱导坐标变换，记其拉回映射的分量为 ，其余类似，则有：

，其中按照定义为Lie导数，其余的量类似。变分与偏导对易的原因为，虽然交换后偏导可能变为协变导数，因为这里不是Killing场，，但是由于在Semi - Riemannian流形下，因此导数只可能是普通偏导，因而可对易。一般而言变分的定义为Lie导数，由单参群给出。

根据Lie导数的性质，可知，可以从泰勒展开或者Lie导数求值公式得出，此处不具体展开。

三. 具体变分计算

由最小作用量原理可知，在下可以对描述运动的量得出相应的欧拉-拉格朗日方程，因此这里可以忽略量而只研究度规的分量变化对作用量变分的影响。

由此，拉格朗日量标量密度变为。而因为S是标量，因此其在坐标变换下不变，即总是成立，是为第一条件。

现在可以用这个条件将分为两部分，其中为坐标变换的诱导变分，

为对分量的变分。

由条件可知，，因此只需要考虑拉回映射导致的变分即可。

根据一般的变分理论，可计算得出，利用前文的对易性有，这里默认在系内计算。

打开偏导数有，第一项根据高斯公式以及物理场变分的基础边界条件，易知，于是作用量的变分化为

定义能动密度张量密度的分量为，其中为量纲系数。从度规的对称性可知，即它必然是对称的。

带入作用量有。利用的对称性可以将后面的求和改写为，即做对称化运算。

这里如此定义坐标变换下的Noether流密度：，由一中的结论易得，其中为普通Nother流，全部都是在系内计算。根据Noether定理，Noether流守恒，这里表现为，再加上即可得出物质场的守恒律。

当然此处的量纲系数可以通过与其他已知系统对比得出，比如电磁场能动密度张量，。可证明，其中c是光速。

于是若不考虑相对论下的作用量表示，物质场对空间几何的对称的能动密度张量定义为，为拉格朗日量标量密度，为场度规坐标系下的分量。

四. 能动赝张量的引入

由Noether定理易得，对于一个系统而言，其守恒律应表现为，而非上文中的物质场守恒律。对于那些的空间而言，比如闵可夫斯基四维时空，两者是相同的 ，但对于的空间就不相同了，因此明显我们在这里遗漏了场本身的能动密度张量，对于引力场而言就是能动赝张量。关于这个内容可以参考我的另一篇专栏 CV20450046。

本文是根据朗道所用的方法，加上个人对梁老师书上所写的内容的理解所给出的推导，如果有错还请大家指出，感谢。