不定积分的概念和性质；原函数存在定理

牛顿365、不定积分的概念和性质；原函数存在定理

 

 2014-03-20，网友“医者仁心326”上传名为《不定积分的概念和性质》的文档。

…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~364》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

文档内容：

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

第四章 第一节 不定积分的概念和性质

一、不定积分的概念

二、基本积分表

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

 

三、不定积分的性质

一、不定积分的概念

 

定义1 若在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x）[即对任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，则称函数F（x）为f（x）在I上的原函数。

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…∈：数学符号“属于”…见《牛顿303》…

（…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…）

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

例

（x^3/3）’=x^2  x^3/3是x^2在（—∞，+∞）上的原函数；

…^：乘方…

…x^3：x的3次方…

 

（sin x）’=cos x  sin x是cos x在（—∞，+∞）上的原函数。

原函数存在定理：

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…原函数存在定理：又名积分上限函数求导定理…见《牛顿361》…

 

区间内的连续函数一定存在原函数。

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

 

若函数有原函数，显然其原函数不是唯一的。

 

例

（x^3/3+1）’=x^2，x^3/3+1是x^2的原函数；

（x^3/3+2）’=x^2，x^3/3+2是x^2的原函数；

结论：x^3/3+C（其中C为任意常数）都是x^2的原函数，而且也是它的全部原函数。

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

定理1 若F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）就是f（x）在I上的原函数的全体。

 

证明

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

设Φ（x）是f（x）在I上的任意一个原函数[即对任一x∈I，都有：Φ’（x）=f（x）]，则：

[Φ（x）-F（x）]’=Φ’（x）-F’（x）=f（x）-f（x）=0

“此处运用了求导法则，函数和的导数 等于各个函数的导数的和。”现代学者说。

…Φ：第21个希腊字母。读音：fài…见《牛顿359》…

“设f（x），g（x）是可导的，则[f（x）±g（x）]’=f’（x）±g’（x）。

请看下集《牛顿366、导数的四则运算法则》”

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