【最后十课】函数与导数-核心总结！2023高考冲刺！第一讲

暑假不想学习但开学要考试的第一天

函数与导数

函数三要素

1.定义域考点总结

具体函数的五个定义与要求

• 分母不能为0
• 根号里面的数要≥0
• 对数的真数要>0
• 一个数的0次幂，这个底数不能为0
• tan的角度一定≠kπ+2kπ
• 最后定义域取交集

抽象函数定义域

• 定义域是“ x ”的范围
• f（）括号里的范围一致

2.如何求解析式？

• 换元（整体代换）

f（）括号里的过于复杂时将其替换成 t ，代换的同时代换取值范围

• 构造方程组

一个方程存在两个变量 ， 根据题目将x代换为x分之一 / -x，构造二元一次方程组求解

如何求值域？

• 特复杂函数

求导 → 判断函数单调性 → 求最值

• 三角函数

边 → 角 → 单个角利用三角恒等变换

• 分式函数（★第一步：看次数）

一次比二次的分式函数上下同除变量m；非单项式将分子整体换元再按照一次比二次形式计算；二次比二次先因式分解在计算。

• 高考的 “分式最值圆锥曲线难题” 节选

遇到根号采取平方，换元，求导等方法

分子为单项式，上下同除k的四次

存在两个变量的式子先化简，观察次数为齐次式 → 消元

初等函数

对数计算公式总结

第二组可用于同构；当多个对数不同底时运用换底公式。

函数图像

• 基本初等函数图像

指数函数 对数函数 幂函数

三角函数

• 应当掌握的重要函数（第一组）

“类二次” “类三次”

函数小题先看能否画图像，不能画出图像就找函数的性质：奇偶性，周期性，单调性

• 应当掌握的重要函数（第二组）

函数性质总结

函数性质之一：奇偶性

• 奇偶性要点

定义域在R上的奇函数必过(0，0)

判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称

• 应当掌握的奇函数（第一组）

• 应当掌握的奇函数

奇函数 → 对称中心

• 进阶考法——对称性

先设一个新函数再根据奇偶性去找对称中心或对称轴。

• 进阶考法—原函数与导函数的奇偶性关系

奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数；导数为奇函数则原函数为偶函数。

函数性质之二：周期性

• 周期性表达式

• 周期性怎么考？

每个周期内的数都是相等的

相邻的对称轴或对称中心所求得的周期为最小正周期

函数性质之三：单调性

• 如何判断单调性

直接根据已知函数性质图像进行判断或直接画图；复合函数符合同增异减原则，内外层函数单调性相同为增函数，单调性相反为减函数；过于复杂的函数求导判断单调性。

• 出题人的单调性潜规则——第一组

均为单调递增

• 出题人的单调性潜规则——第二组

不符合常规的式子要用构造函数去做。双变量问题相同变量放一起，不同变量放两边。

• 函数不等式

函数核心题型

核心题型一：恒成立问题

可以直接分离参数的直接分离参数；不能直接分离的先变形再分离或者进行含参的分类讨论

核心题型二：比较大小

• 方法一：估值法

先和0比较再和1，2等其他数字比较，利用二分法的思想；指对函数可以画图来判断大小

• 方法二：构造函数

结构相同的按照结构构造对应的函数；结构不同的取共同的部分作为自变量x，再比较大小

• 方法三：放缩

先构造，再放缩

零点，极值，单调性等含参数问题

• 翻译条件01

函数已经确定单调区间，则导函数大于等于或小于等于0。

• 翻译条件02

极值点为导数的变号零点

• 翻译条件03

两个函数交点即为让两个函数相等时所得新函数的零点

• 翻译条件04

把其中一个函数关于直线对称过去，再找交点

总结

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