[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.7(III)

2023-08-27 20:58 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻译：野吕侯奈因

仅供学习交流使用

译者按：

本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

本节中出现的解答均摘自本书第五章：习题解答．

习题5. 若有一点 $X$ 沿抛物线运动，而在 $X$ 处的法线（即与该点处切线垂直的直线）交抛物线的轴于点 $Y$ ，且有 $Z$ 为 $X$ 在轴上的投影．求证 $ZY$ 的长度不会发生改变．

（译者注：当然，当 $X$ 取到抛物线的顶点时 $ZY$ 便不存在了．）

解答. 用 $X'$ 表示 $X$ 在抛物线的准线上的投影．注意到有 $FY%5C%7CXX'$ 及 $XY%5C%7C%20X'F$ （由两线均垂直于 $X$ 处的切线）．故有 $XYFX'$ 为平行四边形，从而有 $YZ%3DX'F'$ ，其中 $F'$ 为 $F$ 在 $XX'$ 上的投影．而线段 $X'F'$ 的长度却是恒定的，其值正为抛物线的焦点到准线的距离（见图5.2）．

习题6. 两动点分别沿两直线路径匀速运动，求证这两点连线总会与一条抛物线相切．（满足两条路径不平行且两点不在同一时刻经过路径交点）．

解答. 用 $X$ 和 $Y$ 来表示两动点的位置，用 $A$ 表示两路径的交点．而 $AX$ 与 $AY$ 中垂线的交点则会沿一条直线 $l$ 运动（这是由于其在路径上的投影以恒定速度运动）（译者注：此处可用类似于向量加法的方式来理解）．同时， $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆会经过 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A'$ ．考虑一条以 $A'$ 为焦点，以 $A'$ 关于 $AX$ 和 $AY$ 的对称点连线为准线的抛物线，其内切于 $%5Ctriangle%20AXY$ ．由于上述诸点皆为定点，故该抛物线也为定曲线且与 $XY$ 相切．

（译者注：其直观形式如图p所示．）

习题7. 若有一抛物线内切于 $%5Cangle%20PAQ$ ．试求抛物线上的一条切线与该角两边交点连线的中点轨迹．（译者注：实际上，对于该线段的任意定比分点都能以类似的方法求出其轨迹．）

解答. 设该抛物线的切线分别交 $AP$ 和 $AQ$ 于点 $X$ 和 $Y$ ， $M$ 为 $XY$ 的中点．于是由定理1.10，就有 $%5Ctriangle%20AXY$ 的外接圆过抛物线的焦点 $F$ ．注意到 $%5Ctriangle%20XFY$ 中的所有角都不会随切线的位置变化而变化（译者注：由圆周角定理该结论是显然的）．故有 $%5Cangle%20XMF$ 及 $%5Cfrac%7BFX%7D%7BFM%7D$ 均为定值．因此 $X$ 可经由以 $F$ 为位似中心，以 $%5Cangle%20XMF$ 为旋转角，以 $%5Cfrac%7BFX%7D%7BFM%7D$ 为位似比的旋转位似变换对应而来．于是 $M$ 也就会沿着 $AP$ 在相同位似变换下的对应直线上运动．