短时距傅里叶变换与小波变换

上回我们说到短时距傅里叶变换

短时距傅里叶变换提供了获取频率随时间变化的二维时频图。

但是，这个方案真的好吗？上次说到，短时距傅里叶变换对时间、频率的精确度，取决于窗函数的长度，越宽的窗对频率分辨越好，但对时间分辨越坏；

因此，我们需要根据频率的范围，选择合适长度的时窗。

并且由于不确定性原理，时间-频率的不确定性总是一个长方形。

由于时窗长度是固定的，当时间信号的频率范围很大时，我们就无法根据频率范围选择合适的时窗长度。

以高斯窗为例，我们看到参数a决定了窗函数的长度，a越大，时窗函数越宽。

再看高斯窗的频域函数：a越大，高斯窗的频域函数越窄。

可以看出，高斯窗本质上是一个低通滤波。因此当我们的信号频率范围相差数倍时，我们无法选择合适的时窗长度，因此会造成操作上的不便。

此时，一种根据频率自动选择时窗长度的方法——小波变换诞生了。它和短时距傅里叶变换源于完全不同的知识分支。

1910年，一个叫Haar的人想到，能不能把信号分解为一组宽度不同的矩形时窗，以此拟合信号的形状。答案是，可以的

Haar把它的小波定义为：

那么当我们对小波进行拉伸和位移变换，就得到：

实际上，Haar的思想就是构造一组规范正交基，把信号在正交基上展开。

首先我们定义基小波（wavelet）：

再通过对基小波进行时间域的拉伸(参数a)，和平移(参数b)，生成一组小波。

再用这一组小波完全展开信号。

小波变换就是把时间信号变换到由伸展系数a和位置系数b组成的二维相空间中。

反变换如下：

那么如何用小波变换得到时频图呢？小波变换还满足下图关系：

也就是说，从时间信号的频域函数，同样可以得到相同的Wf(a,b)。因此，我们可以先把时间信号变换到(a,b)空间，再反变换回频率空间，就得到了频率随时间的分布。

由傅里叶变换的性质

我们发现小波变换实际上是对信号进行一系列的窄带滤波。

每一个小波基的时宽、频宽都不同，

小波变换最大的优点就是小波基含有不同长度的时窗，因此可以自动根据频率选择合适的小波基。

那么，基小波的具体函数呢？我举几个例子

Morlet小波

它是一个复数小波。它在时间域上是一个对称振荡函数。仔细观察其函数就会发现，它是一个衰减的高斯窗乘上一个振荡的正弦波，因此就形成了下图左边的样子。而右图是Morlet小波的傅里叶变换结果，可以看出Morlet小波在频率域上相当于一个带通滤波器。

还有柯西小波

它在时间域上不一定对称，但它在频率域上是一个左偏带通滤波。

我们利用小波变换，对信号进行变换，也就是进行一系列窄带滤波操作，由此可以得到对高频和低频同时精确的、逼近不确定性原理极限的时频图。

在matlab里自带cwt函数，就是小波变换函数。