传染病问题（Logistic模型）

一个区域有M只老鼠，其中N只患上了传染病。他们可以通过接触将病传染给健康的老鼠。问任意时刻患上传染病的老鼠有多少？

解：设任意t时刻病鼠和健康老鼠的数目分别为u和v，则

一只病鼠能接触多少老鼠？

当区域内老鼠越多，能接触到的老鼠也就越多。假定这个比例数是，那么能接触到只老鼠。

那么这只老鼠中，健康老鼠的比例为，那么一只病鼠能平均接触到只健康老鼠。

当前一共有u只病鼠，所以

病鼠数目的变化率正比于乘积uv，即

这里非线性项uv刻画老鼠的接触性传染，比例系数。利用式（1.1.3），v = M - u，可以将方程（1.1.4）修改为

其中，。现在求解方程（1.1.5），首先将它写成

为了以后凑积分方便，交换分子上的方向。

的形式，然后两边取定积分

利用积分公式

先看左边的部分：

右边部分

左右两边结合

式（1.1.7）给出

式（1.1.9）作为非线性方程（1.1.5）的解给出任意时刻病鼠的数目。我们看出，它正是众所周知的生物学中的“生长曲线”，如图1.1所示。