证明圆周率π是无理数很难？数学家只需要一页纸！

上一回我们为大家介绍了历史上第一个证明圆周率是无理数的方法，那是数学家兰伯特使用的类似于连分数的方法。不过，由于这个证明方法过程比较冗长，在上次的文章中，我们跳过了许多关键步骤，给小朋友的感觉是：这个证明类似于把大象放进冰箱里。

这一回，我们再为大家介绍一下历史上最简洁的证明方法，那是1947年，数学家伊万.尼云所给出的方法。这个证明在发表时，占用的篇幅不到一页纸。

他的论文如下：

数学家们惜字如金，这篇论文对于普通的同学来讲还是有一点困难。不过，理论上只要具有高二以上数学水平，学了微积分，就能够理解这个证明。下面我就把这篇论文翻译一下，一旦看懂了，你一定会赞叹数学是如此美丽，就好像上一次我们讲尺规作图那样。尺规作图1、尺规作图2

1  构造一个函数f(x)

假设圆周率π是一个有理数，则π一定能写成两个互质的整数p、q的比：

构造函数f(x)

大家看，这个函数分母是阶乘形式，如果用二项式定理将分子展开，一定能写成下面的多项式求和的形式：

也就是每一项的分子都是一个整系数的幂函数形式，而且这个幂次在n与2n之间。

2  对构造函数求导数

下面我们要对f(x)求导数，为此我们首先复习一下幂函数的求导法则，根据

我们可以得出：如果对幂函数求k次导数，有如下三种可能：

于是，对于函数f(x)的每一项，k次求导后的结果

大家看：对于第一类项，这一项是0，是一个整数。对于第二类项，由于m在n与2n之间，m!除以n！是个整数，因此这一类项也是整数。对于第三类项，如果取x=0, 则该项也会等于整数0.

综上所述，f(x)的k阶导数的每一项在x=0时都是整数，f(x)的k阶导数在x=0时是个整数。

3  函数f(x)是对称的

我们再回到最初构造的函数，将变形

通过这个变换，我们显而易见的发现这是一个对称的函数

我们对这个函数两边求k次导数

令x=π得到

即f(x)的k阶导数在x=π处也取整数。

4  再构造一个函数F(x)

再构造一个函数

对这个函数求2次导数，得到

大家是否发现了：F(x)与F’’(x)许多项都是等大反号的，于是让它们相加，得到：

大家注意：f(x)是一个多项式的形式，最高只有x的2n次幂，所以对它求2n+2次导数，自然等于0，于是

5  求函数f(x)sin(x)的原函数

下面我们要求f(x)sin(x)的原函数，为了让这个过程看起来容易一些，我们直接给出原函数F’(x)sin(x)-F(x)cos(x)，并进行证明：

6  做一个定积分

我们求出了f(x)sin(x)的原函数，我们对这个函数在0到π之间进行积分。

由于f(x)的任意阶导数在0和π处都是整数（第二大点），而F(x)是它的线性组合（第四大点），所以F(0)和F(π)也是整数，因此A是一个整数。

7  对定积分放缩

根据我们构造函数的特点：

我们会发现：在0<x<π时，f(x)>0,同时sin(x)>0，因此f(x)sin(x)>0，所以

我们再对构造函数进行放缩，在0<x<π时

因此

当n充分大的时候，上式右侧小于1，于是有A<1。综上，0<A<1

8  反证法

假设π是个有理数，我们得到了（六）中A是一个整数，（七）中A在0到1之间。可是，0到1之间没有整数，发生矛盾，因此π不是有理数，π是无理数。

一个看似简单的问题，却需要如此奇妙的方法进行证明，数学真是神奇。

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