“量变才能引起质变,坚持才会有进步”

“秩”非常非常重要

1. 秩是啥呢？

   通俗来讲，秩是代表全体的最简信息。都代表全体了，你说重不重要？？？

   当然重要啦！！！

   我们来举个小例子：

   老师传达消息的时候，可以把消息传达给宿舍长就行了，这样等于全班都知道消息了

   老师---宿舍长---学生（宿舍长就可以代替学生）

对应到矩阵里面是啥呢

矩阵A：三行成比例，第二行和第三行可以用第一行表示

矩阵B：他们之间不能相互表示

2.矩阵秩的定义（官方定义）

矩阵A非零子式的最高阶数---r(A)=2:矩阵A有二阶的非零子式，有就行！！！

下面几个要理解清楚：

（1）r(A)=r <=> A中有r阶子式不为零，任何r+1阶子式必全为零

eg:r(A)=5 A存在5阶行列式不为0，任何的6阶行列式全为0

（2）r(A)<r <=> A中r阶子式全为零

（3）r(A)≥r  <=> A中有r阶子式不为零

（4）A≠0---r(A)≥1

总结：秩的问题（题干会给两个条件），都是一个大，一个小，然后把秩夹逼出来

若矩阵为n阶矩阵(方阵)，r(A)=n <=> |A|≠0 <=> A可逆

                                             r(A)<n <=> |A|=0 <=> A不可逆

3.向量组的秩

4.关于“矩阵的秩”的一些定理

（1）经过初等变换后的矩阵的秩不变

（2）三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩

应用：1.证明向量组线性相关、无关 2.解方程组（从向量组的相关、无关入手，得出来矩阵的秩）

(3)Ax=0有非0解→r(A)<n

(4)AX=0的基础解系所含向量的个数s=n-r(A)

4.关于“矩阵的秩”的一些公式

9.伴随矩阵的秩

证明公式4

证明公式6

5.“秩”与“向量组线性相关性/无关性”的关系

2023.9.24 先写到这里，我先去干饭了。

下面更新

AB=O，r(A)+r(B)≤n

伴随矩阵的秩，啊啊啊，先截个图放上去

2023.9.27日，我来更新了。

A满秩充要条件行列式不等于0（下面来自知乎的一个解释）

  行列式为零说明经过变换之后至少某一行或某一列全为零，试想一下，一行或一列为零，那么它矩阵的秩一定小于它的行数和列数，一定不满秩。反过来，行列式不为零，也就是经过初等变换得不到任何一行或一列为零，即矩阵的秩等于行列数，即为满秩。