学不明白的数学分析（五十八）

2023-02-22 23:27 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

介绍完含参变量常义积分，我们就要进一步讨论含参变量反常积分。我们在介绍反常积分的收敛判别法时，曾经提到过瑕积分通过一定的变换，可以转化为无穷积分。因此，我们主要以含参变量的无穷积分为我们的研究对象，来对其进行性质的讨论。

在上一篇专栏当中，我有介绍过，含参变量积分与函数项级数有着类似的地方；而在反常积分尤其是无穷积分部分，我们指出了无穷积分与数项级数之间的联系。所以，我们不难想到，在这一部分，我们有很多的东西，与函数项级数部分有很多十分相近的内容。

Chapter Eighteen 含参变量积分

18.2 含参变量反常积分的一致收敛

我们在上一篇专栏指出，在含参变量积分与函数项级数之间，级数中的n对应于积分中的x，级数中的x对应于积分中的u。也就是说，实际上，二者之间的关系十分紧密，对于其中一个概念适用的讨论对于另外一个概念应该也有类似的内容。

我们知道，我们在函数项级数部分的讨论，是从函数列开始的，因为函数项级数 $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20u_n(x)%20$ 的问题本质上是部分和函数列 $%5C%7BS_n(x)%5C%7D$ 的问题。因此，类似地，含参变量反常积分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

的敛散性问题，本质上就是变上限积分函数：

$F(A%2Cu)%3D%5Cint_a%5EA%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

的敛散性问题。于是我们也从含参变量函数入手，来逐步讨论得到有关含参变量反常积分的性质。

首先，我们能够想到的，就是一致收敛。

回忆函数列一致收敛的定义：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cx%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf_n(x)-f(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

我们考虑到n与x，x与u之间的关系，就不难对其修改得到以下定义：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmathring%20U(x_0%2C%5Cdelta%20)%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

此时，我们称含参变量函数 $f(x%2Cu)$ 在 $x%5Crightarrow%20x_0$ 时关于u一致收敛到 $%5Cvarphi%20(u)$ 。

考虑到我们所实际需要的极限过程，类似地有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

此时，我们称含参变量函数 $f(x%2Cu)$ 在 $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 时关于u一致收敛到 $%5Cvarphi%20(u)$ 。

对于这一定义，我们也有以下的等价定义（以 $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 为例）：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Csup_%20%7Bu%20%5Cin%20I%7D%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（等价定义1）

以及：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8CM%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8Cx_n%EF%BC%9EM%EF%BC%8C%7Cf(x_n%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（等价定义2）

在这里我们直接给出一个有关一致收敛的结论，证明留给大家：

设定义在：

$D%3D%5Ba%2Cb%5D%5Ctimes%20I$

上的函数 $f(x%2Cu)$ 在任意固定x时，关于u连续，且在 $x%5Crightarrow%20x_0$ 时关于u一致收敛到 $%5Cvarphi%20(u)$ ，则 $%5Cvarphi%20(u)$ 连续。

（定理1）

介绍完一致收敛的概念，我们就要思考，这一概念能够给我们研究问题带来哪些便利。与函数项级数平行的结论自不必说。但是，有关于含参变量常义积分的内容，我们可以更深入地研究一下。

我们在上一节提到过，若想含参变量积分的连续，比较容易想到的首先就是保证在任意固定x时， $f(x%2Cu)$ 关于u连续。但是，仅有这一点是不充分的，我们还需要一些条件来与之配合。

回忆一下我们的推导过程：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cbigg%7C%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx-%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu_0)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20%5Cint_a%5Eb%20%7Cf(x%2Cu)-f(x%2Cu_0)%7C%5Ctext%20dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

则显然，如果函数 $f(x%2Cu)$ 在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 时关于x一致收敛到 $f(x%2Cu_0)$ ，那么我们就能保证含参变量积分 $%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u连续，即：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5Eb%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

与函数项级数做对比，其实就是在说，逐点收敛无法保证含参变量积分的连续性，但是一致收敛可以。

（这里有一些细节没有特别明确的给出，尤其要注意的就是含参变量函数可积性的保证与极限函数的可积性的得出。相信大家可以自行完成~）

不过，当有了一致收敛的概念以后，我们其实可以看到，即使 $f(x%2Cu)$ 并不能保证在任意固定x时，关于u连续，也能够得到类似的结果：

设定义在：

$D%3D%5Ba%2Cb%5D%5Ctimes%20I$

上的函数 $f(x%2Cu)$ 在任意固定u时关于x可积，且在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 时关于x一致收敛到 $g(x)$ ，则 $g(x)$ 可积，并有：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5Eb%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5Eb%20g(x)%5Ctext%20dx$

采用关于 $u%5Crightarrow%20u_0$ 时的等价定义2就可以将其转化为函数列的问题，从而能够很轻松地得到结果。

在有了一致收敛的概念以后，对于函数变上限积分函数的一致收敛也就好理解了。

我们直接给出一些与函数项级数平行的结论，至于证明，有兴趣的小伙伴可以尝试一下，并不难证明：

（1）当 $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 时，反常积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收敛等价于：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint%20_A%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

以及：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8C%5Csup_%7Bu%5Cin%20I%7D%5Cbigg%7C%5Cint%20_A%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（2）Cauchy收敛原理：

当 $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 时，反常积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收敛等价于：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A_1%2CA_2%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint%20_%7BA_1%7D%5E%7BA_2%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（3）Weierstrass控制判别法：

设 $f(x%2Cu)$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上关于x连续，如果存在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非负连续函数 $h(x)$ ，使得：

$%5Cint%20_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20h(x)%5Ctext%20dx$

收敛，并且：

$%7Cf(x%2Cu)%7C%5Cle%20h(x)%5Cquad(x%5Cin%20%5Ba%2C%2B%E2%88%9E))$

则反常积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收敛；

（4）Dirichlet判别法：设 $f%2Cg$ 满足：

①当 $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 时， $%5Cint_a%5EA%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致有界；

②对任意固定的u， $g(x%2Cu)$ 关于x单调，且当 $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 时关于x一致收敛于0；

则反常积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)g(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收敛；

（5）Abel判别法：

① $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛；

②对任意固定的u， $g(x%2Cu)$ 关于x单调，且一致有界；

则反常积分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)g(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收敛。

Chapter Eighteen 含参变量积分

18.3 含参变量反常积分的性质

从上面我们的讨论，我们不难理解到，含参变量反常积分实际上可以写作：

$%5Cvarphi%20(u)%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

本质上是一个关于u的函数。

还是一样，考虑到含参变量反常积分与函数项级数之间的紧密联系，其性质方面也应该由于函数项级数类似的讨论。在此我们不再赘述，只是将定理叙述一遍，证明思路与函数项级数部分高度一致，大家自然很容易理解这些内容，也可以尝试自行证明：

（1）连续性：

如果函数 $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上连续，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛，则 $%5Cvarphi%20(u)$ 连续；

（2）Dini定理：

如果函数 $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上非负连续，且 $%5Cvarphi%20(u)$ 在某一有限闭区间上连续，则 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛；

（3）可积性：

如果函数 $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上连续，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛，则 $%5Cvarphi%20(u)$ 在可积，并有：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%3D%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

（4）可微性：

如果函数 $f$ 和 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20$ 都在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上连续，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛，则 $%5Cvarphi%20(u)$ 在可微，并有：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20d%5Cvarphi%20%7D%7B%5Ctext%20du%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20d(%5Cint_a%5Ebf(x%2Cu)%5Ctext%20dx)%7D%7B%5Ctext%20du%7D%3D%5Cint_a%5Eb%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

这些内容都是由函数项级数的对应的结论非常自然地平行推及得到的，但是这些内容还可以进行推广。

首先是连续性部分。实际上，所谓连续性，不过是函数的极限与函数值之间有一定的关系。当我们放宽条件，只考虑极限存在的情况，那么就会有不一样但是类似的结果：

设定义在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20I$

上的函数 $f(x%2Cu)$ 在任意固定u时关于x可积，且对于任意的A＞a，在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 时关于x一致收敛到 $g(x)$ ，以及 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 关于u一致收敛，则有：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%5C%5C%20u%5Cin%20I%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%5C%5Cu%20%5Cin%20I%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20g(x)%5Ctext%20dx$

（定理2）

其次是可积性部分。如果我们记：

$F(%5Cbeta%2Cx)%3D%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du$

那么结论（2）又可以表示成：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx$

如果：

① $%5Cint_%5Calpha%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du$ 收敛

② $%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x%2Cu)%5Ctext%20du%EF%BC%8C%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx$ 一致收敛；

则：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%26%3D%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_a%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cbigg(%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

也即：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

这就将可积性的结论做了推广，使之在双无穷区间上也成立。

思考：

证明等价定义1；
证明等价定义2；
证明定理1；
证明定理2；
判断下列反常积分是否一致收敛：

（1）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ux%7D%5Csin%20x%5Ctext%20dx%5Cquad(0%EF%BC%9Cu_0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（2）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dx%7D%7B1%2B(x%2Bu)%5E2%7D%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（3）

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%5Ccos%20ux%7D%7B1%2Bx%5E4%7D%20%5Ctext%20dx%20%5Cquad(-%E2%88%9E%EF%BC%9Cu%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（4）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ux%7D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Csqrt%7Bu%7D%20e%5E%7B-ux%5E2%7D%5Ctext%20dx%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$
证明：积分：

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20ux%7D%7Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

在任何不包含u=0的有限闭区间上一致收敛，在包含u=0的有限闭区间上不一致收敛；
研究下列函数在指定区间上的连续性：

（1）

$f(x)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%2Bt%5Ex%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cquad(x%5Cin(2%2C%2B%E2%88%9E))$

（2）

$f(x)%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%5Ex%7D%20%5Ctext%20d%20t%20%5Cquad(x%5Cin(0%2C%2B%E2%88%9E))$
计算积分：

$%5Cint_0%5E1%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D(%5Cln%20x)%5Em%5Ctext%20dx$