不绕轴的旋转体体积你会求吗？二重积分是个好方法！速懂！

一、经典题目 已知区域D: (x-a)²+(y-b)²≤r²，0

特注: ①如果区域是很规则的区域，那么形心就是几何中心。如矩形的形心是对角线的交点，圆的形心就是圆心，椭圆的形心就是两条对称轴的交点，这是很容易理解的，不再赘述。 ②由于∫∫dσ就是D的面积S，所以上述公式常变形为∫∫xdxdy=S乘x形心坐标，∫∫ydxdy=S乘y形心坐标。 三、题目分析 圆域D的形心显然是(a,b)，面积为πr²，所以∫∫xdxdy=aπr²。 根据体积公式可知区域内的任意一点(x,y)到x=2r的距离r(x,y)=(2r-x)。 所以V=2π∫∫(2r-x)dxdy，即V=4πr*πr²-2π∫∫xdxdy=4π²r³-2π*aπr²=4π²r³-2aπ²r²。 四、欢迎讨论 如果对题目和理论有疑问，可以在评论区发表观点和见解。