【数学基础Ep12】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. stolz公式——

   对于*/∞型的数列xn/yn，其中——

   存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；

   在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；

   公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。

2. 无穷小数列ln（1+1/n）~1/n。

3. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ.，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。

4. 线性相关：对于n（n>=1）个向量a1，a2，……，an，如果存在不全为零的n个数l1，l2，……，ln使得l1a1+l2a2+……+lnan=0，那么n个向量a1，a2，……，an叫做线性相关。两个向量线性相关即共线/平行，三个向量线性相关即共面。

5. 线性无关：当且仅当l1=l2=……=ln=0式，上式才成立，则称a1，a2，……，an叫做线性无关。两个向量线性无关即不共线/平行，三个向量线性无关即不共面。

   
   

参考资料：

1. 《数学分析教程》（常庚哲 史济怀 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀 编）》）——

计算极限：

a.lim（1+1/2+……+1/n）/ln n

b.lim[1+1/3+……+1/（2n-1））]/ln 2n^（1/2）

解——

a.

1. 分母为单增数列，则根据stolz公式：

   lim（1+1/2+……+1/n）/ln n

   =lim （1/n）/[ln n-ln （n-1）]

   =lim（1/n）/[ln n/（n-1）]

   =lim（1/n）/{ln [1+1/（n-1）]}

   =lim （1/n）/[1/（n-1）]

   =lim （n-1）/n

   =1

b.

1. 分母为单增数列，则根据stolz公式：

   lim[1+1/3+……+1/（2n-1））]/ln 2n^（1/2）

   =lim [1/（2n-1）]/[ln 2n^（1/2）-ln 2（n-1）^（1/2）]

   =lim[1/（2n-1）]/ln [n/（n-1）]^（1/2）

   =lim[1/（2n-1）]/{（1/2）ln [1+1/（n-1）]}

   =lim 2/{（2n-1）[1/（n-1）]}

   =lim 2（n-1）/（2n-1）

   =1

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已给不共线向量OA=a，OB=b：

a.试求一个向量c，使它与∠AOB的角平分线平行。

b.求角平分线。

解：记∠AOB的角平分线与AB的交点为F，取等长的向量|OB|OA和|OA|OB——

a.

1. 由向量加法平行四边形法则，有OC=|OB|OA+|OA|OB=|b|a+|a|b平行于∠AOB的角平分线——菱形OACB的对角线OC平分∠AOB。

b.

1. F视为AB的定比分点，则存在λ使得OF=（a+λb）/（1+λ）；

2. 又OC//OF，则存在μ，使得OF=μOC=μ（|b|a+|a|b）；

3. 联立2，3，（a+λb）/（1+λ）=μ（|b|a+|a|b），即[1/（1+λ）-μ|b|]a=[μ|a|-λ/（1+λ）]b；

4. 由于a，b不共线（线性无关），则1/（1+λ）-μ|b|=0，μ|a|-λ/（1+λ）=0，即1/（1+λ）=μ|b|，λ/（1+λ）=μ|a|；

5. 解得：λ=|a|/|b|，μ=1/（|a|+|b|）；

6. 则，OF=μ（|b|a+|a|b）=（|b|a+|a|b）/（|a|+|b|）.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

设向量组a1，a2，……，as线性无关，则向量β可以由a1，a2，……，as线性表出的充分必要条件是a1，a2，……，as，β线性相关。

证明：

必要性——

1. 向量β可以由a1，a2，……，as线性表出，即存在实数l1，l2，……，ls使得β=l1a1+l2a2+……+lsas；

2. 则l1a1+l2a2+……+lsas+（-1）β=0，即a1，a2，……，as，β线性相关。

充分性——

1. 设a1，a2，……，as，β线性相关，则有K中不全为零的数k1，k2，……，ks，m使得k1a1+k2a2+……+ksas+mβ=0；

2. 假如m=0，则k1，k2，……，ks不全为零，由1得：k1a1+k2a2+……+ksas=0，于是a1，a2，……，as线性相关，这与已知条件矛盾，因此m不为0；

3. 由2：β=（-k1/m）a1+（-k2/m）a2+……+（-ks/m）as，得证。

到这里！