傅里叶分析存在的问题

在处理海洋和大气时间序列时，我们经常需要用傅里叶变换来对其做频谱分析，寻找其显著周期。傅里叶变换的有关知识大家可以自行百度，这里我举一个有趣的小例子来说明傅里叶变换可能存在的问题。下面的代码改编自MATLAB函数FFT自带的例子，有两个正弦信号，一个频率是50Hz, 另一个是150Hz。将这个两个正弦信号相加，然后做傅里叶变换，结果如图1所示，可以看到在50和150Hz处有峰。但是如果这两个正弦信号不是相加，而是相乘呢？结果如图2所示，在100和200Hz处有峰。原因很简单，大家可以回想起高中学过的三角函数积化和差公式，两个正弦信号相乘可以转化为两个正弦信号相加。傅里叶变换是无法反映乘法运算的，只能反映加法运算。在现实世界里，乘法运算是普遍存在的，比如潮波传播到近海，由于水深变浅，在摩擦项的非线性作用下，会诞生浅水分潮。

Fs = 1000;                    % Sampling frequency

T = 1/Fs;                     % Sample time

L = 1000;                     % Length of signal

t = (0:L-1)*T;                % Time vector

x1=sin(2*pi*50*t);

x2=2*sin(2*pi*150*t);

y= x1+x2; %y= x1.*x2;

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y

Y = fft(y,NFFT)/L;

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);

figure()

plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))

xlabel('频率 (Hz)')

ylabel('振幅')

set(gca,'Fontsize',13,'linewidth',1.1)

刚才的例子非常简单易懂，这里再举一个更复杂的例子。保留频率为50Hz的正弦信号，将频率为150Hz的正弦信号替换成随机噪声。如果将50Hz的正弦信号与随机噪声相加，频谱分析结果如图3所示，可以看到在50Hz出有一个明显的峰，其他频率上也有峰，但是都非常小（代表了随机噪声）。如果将50Hz的正弦信号与随机噪声相乘，频谱分析结果如图4所示，在50Hz处已经没有峰了。我们还是可以用积化和差来解释（把随机噪声看成是一系列余弦信号的叠加）。

Fs = 1000;                    % Sampling frequency

T = 1/Fs;                     % Sample time

L = 1000;                     % Length of signal

t = (0:L-1)*T;                % Time vector

x1=sin(2*pi*50*t);

x2=0.5*randn(size(t));

y= x1+x2;%y= x1.*x2

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y

Y = fft(y,NFFT)/L;

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);

figure()

plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))

xlabel('频率 (Hz)')

ylabel('振幅')

set(gca,'Fontsize',13,'linewidth',1.1)