有限元分析
# 有限元分析
目的:不求公式推导，大致懂得原理
在有些人划分网格的时候，划分网格的精细程度与它的精度有关的，带来的结果是计算时间太长，了解这个可以大致掌握这两者的一个平衡
高频率要细化网格，或者寻找更高级的差值函数
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## 第1节 概括
有限元分析类似于数值方法，结合差分法，变分法
有限元分析，就是先大体按照差分法来划分大的网格，然后在这个大的里面进行，变分法拟合，划分小网格，
有限元，它是对物理模型进行离散的，
相比较于变分法来说，有限元法，它对不同的区域采用的是不同的拟合函数，
## 应用：
静力、动态、热场、电磁场、流场
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## 第2节
弹性力学
1.平衡方程-（外力与应力）
2.几何方程-（应变与位移）
3.物理方程-（应力与应变）
神奇
## 上面一共15个式子，15个未知量
在某些情况下，可以简化为平面应变问题、平面应力问题，
虚位移原理
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# 第三节 平面有限元
他想要以这个简化的模型来阐述清楚有限元分析的一个步骤，
先是通过结构离散，本来在现实生活中是无限连续的，在这个模型中是有限的节点，
三角形、四边形、矩形
这种离散就不行，很明显，他的点放在了别人的边上，这到底能不能移动呢
节点的自由度
只要划分好节点，将每个节点的参数求出来，节点区域内就是三角形区域里面是通过差值来得到的，
节点和三角区域是不能重复定义的，
## 利用节点得到多项式系数，从而确定三角区域
直接通俗来讲，就是只要知道三角形三个顶点的坐标，这个坐标是根据力学那里求来的，而三角形内部区域都是根据多项式插值来的，
引入了形函数：它将方程的右边变为节点的位移，而不是坐标，左边得到的是三角区域内某一个点的位移，
三角形区域内任意点的三个形函数相加为一，
在位移函数那里，是用的多项式，然后前面的系数是待求的，这个多项式是要满足一定条件的，
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## 第四节 操作顺序
这里的顺序有点混乱，
* 它是先得到节点的位移，通过位移得到了区域内的位移，
* 已知位移之后，通过几何关系得到了应变，
* 然后运用物理模型得到应力，再用平衡方程得到外力
* 
这个公式的推导过程还用到了虚位移、虚功原理，可以对比弹簧的公式，右边就是位移成一个刚度，左边得到了力，
对这个公式进行解读，可以看到刚度矩阵的第2个字母跟位移q的下标是一样的，就是对于一个i点的力来说，他的力有三个部分来组成，而且这里的力绝对不是标量，它是一个向量，如果这个点是有两个自由度，也就是两个维度，那么这里的力就是一个二维向量，
## 总刚度矩阵
到现在基本就是求出来，对一个小的单元或者三角形节点，它的位移和外力的关系，要想知道它的位移，就要知道他的外力，对于一个小的区域来说，他的外力还包括其他各个小单元对它所施加的力，这些力对于一个大的总体来说相当于内力，现在的目的是要将这些内力进行一个抵消，所以需要构造总刚度矩阵，
最终得到了这样的一个公式，这样的公式右侧是一个所有载荷也就是外力，经过一个总刚度矩阵k之后，可以得到各个节点的位移，q，
现在有一个问题，就是划分出的节点，想要知道节点的位移，这个位移应该根据力来求，但这个力并不一定是作用在节点上的，比如是一个集中力，它可能作用在三角区域内的某一点，这就需要将这个力进行等效作用在节点上
## 施加约束条件
添加约束条件，比如说在边界位移为零的时候，意义就是这个点被固定了，他需要对应修改两个地方，第1个是总刚度矩阵，由于它被固定相当于它的刚度无穷大，就需要将刚度矩阵的对应修改，第2个就是它的位移为0，所以方程的右边表示它位移的地方也应该对应修改为0，
同样在边界，比如说位移为固定值的情况下，它会将这个点某个方向对应的高度矩阵设置为一个非常大的值，同时将右侧位移修改为这个比较大的值乘确定的位移
## 平均应力
如果说这个平面比较大，而划分的网格比较少的话，那么它的误差可能会比较大，理想的情况是在每个小的网格的边界处，它这个是收敛的应力值，那误差比较大的情况下，有可能就不连续了，这种情况下，边界上的应力值就会去相邻两个板块的一个平均值，
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# 第五节 轴对称问题
最重要的问题就是它的坐标系不再是笛卡坐标系，换成圆柱坐标系，
轴对称就是由一个子午面绕一个轴进行旋转一周得到，
它的基本单元是在桌面上划分一个三角形小单元，然后将这个三角形小单元绕轴进行旋转，
他在积分的时候还采用了简化计算，直接采用三角形的行心
外力：重力、离心力
## 杆件/梁单元
它就是一根杆，左右两端各有一个节点，每个节点的自由度都是3，所以总的自由度6，同样是根据两个节点的位移得到杆件的一个中间各点的位移，在插值的时候有6个参数，
同样这里也求出了刚度矩阵，但是每个梁的坐标系是不一样的，它需要有一个坐标系转换到世界坐标系的过程，在这个过程中，它的刚度矩阵也对应着要转变为世界坐标系中的刚度矩阵，
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## 第六节
### 一般情况
### 薄板弯曲
对于矩形的模板，它是采用四边形进行离散
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## 第七节 动态响应
动态响应其实包括两个方面，第1个方面你要分析这个零件，它本身的重要特性，就是固有频率，然后再分析不同施加不同的载荷，
下面这个式子很明显在最左边添加的两项，就是因为位移会随时间变化，
在静力学划分网格的时候，要求对应力集中的部分要细化网格，
但是在动力学模型的时候，要求是尽量将这个网格均匀一点，
对于一个网格，它的方程跟前面进学几乎是一样的，只不过增加了阻尼力和惯性力，所以这里增加了质量矩阵，阻尼矩阵都要合成
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## 第八节
有限元模型要为计算模型提供一些数据，这些数据
* 包括节点的编号，节点的数量，还有节点的坐标系，
* 单元网格的数据包括编号，材料特性，几何形状，
* 边界的载荷，包括这个载荷上力的大小，位移的限制，在热学里面热力温度
在计算机建模的过程中需要注意一个问题，在人的眼睛看来两个点也许是重合的，但在计算机模型里面有可能这两个点并不是一个点，尽管它在位置上是非常接近的，所以要进行模型检查
单元的特性定义，位移协调性
分析类型：要做一些力学上的分析，还是热力学上的
## 划分网格
这个步骤并不是随便划分的，在一定程度上是要对模型进行一个简化的，这个过程涉及到经验，
* 简化：对于一些细节影响较小的就可以用更简单的模型去简化减少计算时间，
* 局部细化：但对于判断可能出现应力集中的地方，比如说内导圆角之类的地方，这个地方是要进行局部细化的，
* 对称简化：有时候判断对称的结构，只需要划分一半的部分部件进行计算就可以，
## 约束条件
约束条件，性质位移的时候，可能是某一个面的 x或者某一个方向进行固定
## 建模型-简化方法
理解有限元方法后，可以更加自由的对模型进行简化
有限元方法在频率比较高的时候，它的误差是比较大的，
在对动态进行分析的时候，应力集中影响并不是很大，所以有时候打个孔都直接忽略掉了，
自己对这个零件的应力或者机械特性一定要有所了解，就比如下面这张，他目的就是为了增加强度，所以直接把厚度给增加了，
局部结构：比如说某一块儿变形比较大，相对于别的部件来说，可以把这一块单独拿出来，与别的部件相对静止的部分做一个位移上的固定，
对称：只算一半，对轴对称面施加位移约束
周期对称：比如齿轮的圆周，设置某对称点的位移相同
注意：
* 如果将结构进行对称的话，施加的载荷也有可能要减一半，
* 在进行轴对称，也就是找一个面进行抛开的时候，这个面尽量不要抛到应力比较集中的地方，
* 刚体单元：就是变形很小，直接让它不变形，可以减少计算
材料特性（各项同性，异性）
有时候是叠加复合材料
物理特性：惯性矩
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## 第九节 网格质量
1的质量不好
应力梯度大的网格就要细
网格的粗细可能需要通过试探，在刚开始的时候，网格可以大一点，然后取网格为1/2，看这两个两者的结果误差是否大，误差大，说明还需要进一步细化网格，
下面这张图可以说明一些问题，大于一的比值是一致质量，而在一下面的是集中质量，
* 不论是已知质量还是集中质量，划分网格的数量越多，越接近固有频率，
* 在相同网格数量的情况下，一致质量它计算的精度要比集中质量更高，
* 在二阶和四阶的情况下，为了达到相同精度，四阶需要的网格数量更多
### 原则
* 在静力分析里面，计算变形的话，需要的网格比较少，如果需要计算，接下来的应对应变需要在变形的基础上计算，所以说误差有可能放大，此时网格就需要比较细，
* 计算高阶模态的时候，为了达到同样的精度的固有频率，网格数量更多
* 结构不同部位采用大小不同过渡
* 强制过渡，强制规定点和边上的点相同位移，否则不协调
* 或者（自然过渡）
* 网格数量少，就提高单元阶数，数量多的话使用线性也行
* 就是提高精度可以有两条路径，一种是将网格的数量变多，另一种就是提高拟合的阶数
* 在静力学的时候，网格大小就要有一个过度，这样的话可以增加精度同时控制计算时间，但是在动力学方面要求网格尽量去均匀，此时网格可能就比较大，这个时候就要增加阶数
* 网格划分的边界线，要和材料相匹配，材料如果在这边变了的话，一定要画在一个边界线，或者施加载荷，不同的话也也要划分开，
* 如果两个节点编号一样，说明位移一样，此时两节点之间可以理解为刚体
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他会先大概的划分网格，然后我通过快速的计算观察哪里的应力比较大，然后再在应力比较大的地方去细分网格，
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# 第十节 模型检查与处理
网格质量：越方正越好，细长比
关键部位《2，次要《10
锥度比：也是接近1
网格内角：三角形不《15 四边形不《45
四边形不要翘起来
### 检查重合节点
检查模型自由边界，检查节点距离
遗漏的单元
节点编号：尽量点接近数字也接近
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## 位移约束：必须的，尤其在对称简化，或者近似的不平衡力
位移约束的目的就是让这个物体不要有刚体运动，它在将结构为了减少计算量，而进行对称简化的时候尤其有作用，
* 不要让它有刚体位移，这样矩阵是奇异的
约束不足要增加约束
* 人为增加约束：尽量在位移小的地方，要远离关键部位
坐标系：可以自己定义（直角，圆柱，球）
* 刚性约束
* 固定约束，6个约束直接不能移动
* 滑动约束
* 滚动约束
* 弹性约束
* 强迫约束
* 相关位移约束：用等式来表示
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### 分布计算法：操作步骤，应力部分好
他会先大体的划分网格，然后找到网格上应力比较大的地方，然后把这地方挖出来，作为一个局部的单元，然后与其他连接的部分，作为一个新的约束条件，去单独给这个细化过的局部进行再计算，
### 局部分析法：受力部分面积很小
相比于前面的分布计算法，最大的不同是，前者的位移是基本都有的，只不过是在某个地方，它的应力变化比较大而已，而局部分析法的话，某一部分他的位移基本叫不动，所以会把受力的那部分拿出来，把其他部分直接当做刚体，位移约束为０有一种方法就是，他还是大概的粗网格区，划分一个区域，看看哪里的位移确实很小，如果很小的话还可以进一步减小这个空间范围，但是可以将那里面的网更加细也可以同样的划分网格，然后我们将这个网格更加细化，将这二者的结果进行对比，如果说结果误差大于5%，那么说明还有优化的空间，网格需要进一步细化，如果说是一个东西放在某个基座上面，他俩的连接直接就可以划分为一体化，只不过是赋予不同的材料属性，或者说你分为两个东西，但是要把他们的位移通过刚性约束约束起来，偶合起来，
