3种方法“玩”一道网友所问之条件极值题

法一:牛顿恒等式+盛金判别式

设a,b,c为方程x³-e₁x²+e₂x-e₃=0的3个根

对应幂和对称多项式通项为:

Pn-e₁P(n-1)+e₂P(n-2)-e₃P(n-3)=0

结合已知得:P₀=aº+bº+cº=3

P₁=e₁=a+b+c=1

P₂=a²+b²+c²=2

则e₂=ab+bc+ac=1/2[(a+b+c)²-(a²+b²+c²)]=-1/2

即方程为x³-x²-1/2x-e₃=0

通项式为Pn=P(n-1)+1/2P(n-2)+e₃P(n-3)

则P₃=P₂+1/2P₁+3P₀=5/2+3e₃

需求取e₃的取值范围

∵a,b,c为实数

∴方程x³-x²-1/2x-e₃=0无虚数根

由盛金公式，只需总判别式非正即可

即A=(-1)²-3*1*(-1/2)=5/2

B=(-1)*(-1/2)-9*1*(-e₃)=1/2+9e₃

C=(-1/2)²-3*(-1)*(-e₃)=1/4-3e₃

△=B²-4AC=(1/2+9e₃)²-4*5/2*(1/4-3e₃)≤0

即108e₃²+52e₃-3≤0

解得:(-13-5√10)/54≤e₃≤(-13+5√10)/54

则(32-5√10)/18≤5/2+3e₃≤(32+5√10)/18

即(32-5√10)/18≤a³+b³+c³≤(32+5√10)/18

即原式最小值为(32-5√10)/18

ps：上述法转化为方程无虚数根后，亦可分离参数+求导解决，具体如下:

x³-x²-1/2x=e₃

即函数f(x)=x³-x²-1/2x与y=e₃有2或3个交点

f'(x)=3x²-2x-1/2=0

解得x=(2+√10)/6,经判断为极大值

x=(2-√10)/6,经判断为极小值

当f((2-√10)/6)≤e₃≤f((2+√10)/6)

即(-13-5√10)/54≤e₃≤(-13+5√10)/54

则(32-5√10)/18≤5/2+3e₃≤(32+5√10)/18

即(32-5√10)/18≤a³+b³+c³≤(32+5√10)/18

故原式最小值为(32-5√10)/18

法二:拉格朗日乘数法
L=a³+b³+c³+m(a+b+c-1)+n(a²+b²+c²-2)
∂L/∂a=3a²+m+2an=0
∂L/∂b=3b²+m+2bn=0
∂L/∂a=3c²+m+2cn=0
即-m=∂L/∂a=3a²+2an=3b²+2bn=3c²+2cn
即3a²+2an=3b²+2bn且3a²+2an=3c²+2cn
3(a²-b²)=2n(b-a)且3(a²-c²)=2n(c-a)
即a=b或a+b=-2/3n
且a=c或a+c=-2/3n

若a=b且a=c,则a=b=c，无法同时满足两约束条件，舍

若a=b且3(a+c)=-2n
则2a+c=1且2a²+c²=2
即2a²+(1-2a)²-2=0
2a²+4a²-4a+1-2=0
6a²-4a-1=0
解得a=(2±√10)/6
即a=b=(2+√10)/6,c=(1-√10)/3
或a=b=(2-√10)/6,c=(1+√10)/3

若a+b=-2/3n且a=c
同理得
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3
或a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3

若a+b=-2/3n且a+c=-2/3n
即a+b=a+c,即b=c
同理得
b=c=(2+√10)/6,a=(1-√10)/3
或b=c=(2-√10)/6,a=(1+√10)/3

综上，原式驻点及其驻点值如下:
a=b=(2+√10)/6,c=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=b=(2-√10)/6,c=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
a=c=(2+√10)/6,b=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
a=c=(2-√10)/6,b=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
b=c=(2+√10)/6,a=(1-√10)/3,L=(32+5√10)/18
b=c=(2-√10)/6,a=(1+√10)/3,L=(32-5√10)/18
综上，原式最小值为(32-5√10)/18

法三:线性换元+消元求导

令a=√3x+y+√2z,b=-√3x+y+√2z,c=-2y+√2z

化为求取3√2z=1,x²+y²+z²=1/3条件下

(√3x+y+√2z)³+(-√3x+y+√2z)³+(-2y+√2z)³的最小值

即求取x²+y²=5/18条件下

-6y³+6y²+18x²y+6x²+1/9的最小值

-6y³+6y²+18x²y+6x²+1/9

=-6y³+6(y²+x²)+18(5/18-y²)y+1/9

=-24y³+5y+16/9

由x²+y²=5/18得，y∈[-√10/6,√10/6]

令原式=f(y)=-24y³+5y+16/9，y∈[-√10/6,√10/6]

f'(y)=-72y²+5

可得f(y)在(-√10/6,-√10/12)递减,(-√10/12,√10/12)递增,(√10/12,√10/6)递减

f(-√10/12)=(32-5√10)/18

f(√10/6)=(32-5√10)/18

故原式最小值为(32-5√10)/18

ps:上述换元思路参考:(解释或许不太专业)

a+b+c=1为三维坐标系中一平面,a²+b²+c²=2为圆心在原点,半径为√2的一球面

则点(a,b,c)在平面与球面所截的圆周上

考虑寻找一线性变换矩阵A，使得变换后平面与x-o-y平面平行(表达式上即将平面方程化为z=m(m为常数)的形式)

取平面一法向量为(1,1,1)

平面上两点(1,0,0)和(0,1,0)构成向量(1,-1,0)

取与二者均垂直的一向量为(1,1,-2)

根据右手系定i=(1,-1,0),j=(1,1,-2),k=(1,1,1)

伸缩向量至模长均相等得

i=(√3,-√3,0),j=(1,1,-2),k=(√2,√2,√2)

则构成矩阵B，其基底为上述向量(由于该矩阵基底两两垂直且模长相等，故该矩阵对坐标系具有相似化放缩和旋转的效果)

A则为B的逆矩阵，故矩阵A可将曲面变换为平面平行于x-o-y平面

即(x,y,z)=A·(a,b,c)

则(a,b,c)=A^(-1)·(x,y,z)=B·(x,y,z)

得a=√3x+y+√2z,b=-√3x+y+√2z,c=-2y+√2z

根据相关点法，将上式代入原曲面方程即可求取变换后曲面方程

若有更多解法，欢迎于评论区共讨