解决矩阵的秩万能方法（分块矩阵广义初等变换）

我们复习一下几个性质 1AB的列可由A的列线性表示出（右列） 2BA的行可由A的行线性表出（左行） 左行右列也就是分块矩阵变换的原理 再看如何对非方阵的矩阵行化简得到一种类似单位阵的东西

再来看处理任意矩阵秩证明题中最黄金的一个不等式 我们知道初等变换都是不改变秩的 证明秩不等式问题我们先根据等式两边形式初等变换把＞号右边的秩找到与它等价的分块矩阵 然后用初等变换左行右列向不等号另一边形式靠拢最后利用该不等式放缩完成证

秩解题步骤 1找到不等式＞号右边的部分 如例题r（AB）+n＞r（A）+r（B）的右边为AB n阶E。（因为要用重要不等式所以一定从＞号右边开始分析） 2找到对应右边的分块矩阵 3对右边分块矩阵进行初等行变换得到一个形式与左边靠近的分块矩阵 4用分块矩阵重要不等式完成证明 下面这个例题是希尔维斯特不等式推广就是完全按照这个步骤方法完成的证明证明过程只需要套步骤即可

再用这个不等式可以证明另一个经典结论