【数学基础135】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（四）
史济怀老师视频课微分方程部分——
&2.一阶微分方程
&2.3一阶线性方程
先把之前聊过的内容复习一下——
线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。
原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。
非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。
依然按照从简单到复杂的顺序，最简单的线性方程是一阶线性微分方程，所以我们就从这种类型开始了。
一阶线性微分方程——即只含有一阶导数的线性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——Q（x）恒为0；
非齐次方程——Q（x）不恒为0。
注意：
这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；
非齐次方程的解可由齐次方程的解获得，所以先解决齐次方程的解即可。
一阶齐次线性方程的通解——
dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——变量分离的方程，两边取积分；
ln |y|=-∫ P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫ P（x）dx）——其中C的取值取决于C1，C=e^C1或C=-e^C1。
注意——绿字部分的解是要背下来的。
一阶非齐次线性方程的通解——常数变易法：利用齐次方程的通解y=Ce^（-∫ P（x）dx）——（重点！！！）——
方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒为0；
将齐次方程通解中C换成未知函数u（x），即y=ue^（-∫ P（x）dx）；
由2得dy/dx=u'e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）；
将2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫ P（x）dx）=Q（x）；——注意到绿色部分可以消去；
由4解出u（x）——
u‘e^（-∫ P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫ P（x）dx），
u=∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C；
将5代入2中，y=e^（-∫ P（x）dx）（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C）；
将6中式子改写得到，y=Ce^（-∫ P（x）dx）+[e^（-∫ P（x）dx）]（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx）；
注意：
1.第一项（红色部分），为齐次线性方程的通解；
2.第二项（绿色部分），为非齐次线性方程的一个特解（C=0时）。
例子——解方程dy/dx-y/x=-1
分析：对比一阶线性微分方程的形式，找出P（x）、Q（x），在这里，P（x）=-1/x，Q（x）=-1。
解（常数变易法）：
step1.先找出该方程对应齐次方程dy/dx-y/x=0的通解——
套公式：y=Ce^（-∫ P（x）dx）=Ce^[-∫ （-1/x）dx]=Ce^[∫ （1/x）dx]=Ce^（ln|x|）=C|x|=Cx
注：因为C为任意常数，故而绝对值符号可去。
step2.找出该方程的一个特解——
设特解y=u（x）e^（-∫ P（x）dx）=u（x）x——其中u（x）为关于x的未知待定函数；
由1，dy/dx=d[u（x）x]/dx=u'（x）x+u（x）；
将1，2代入原方程得：dy/dx-y/x=u'（x）x+u（x）-u（x）x/x=u'（x）x=-1；
由3，u'（x）=-1/x，则u（x）=-ln|x|+C'——其中C'为任意常数，为了方便，我们取C'=0；
综上求出该方程一个特解y=-xln|x|。
step3.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——
解得y=xln|x|+Cx——其中C为任意常数。
例子——解方程dy/dx=y/（2y^2+y-x）
分析——
先将该方程化成一阶线性方程的形式，dx/dy=2y+1-x/y，即dx/dy+x/y=2y+1——如果把x当做自变量，方程形式较复杂，把y当做自变量会更容易处理，启示是遇到分母较复杂而分子较简单的形式，不如分析其倒数更方便；
找出P（y）、Q（y），在这里，P（y）=1/y，Q（y）=2y+1。
解（常数变易法）：
step1.先找出该方程对应齐次方程dx/dy+x/y=0的通解——
套公式：x=Ce^（-∫ P（y）dy）=Ce^[-∫ （1/y）dy=Ce^（-ln|y|）=C|1/y|=C/y
注：因为C为任意常数，故而绝对值符号可去。
step2.找出该方程的一个特解——
设特解x=u（y）e^（-∫ P（y）dy）=u（y）/y——其中u（y）为关于y的未知待定函数；
由1，dx/dy=d[u（y）/y]/dy=[u'（y）y-u（y）]/y^2；
将1，2代入原方程得：dx/dy+x/y=[u'（y）y-u（y）]/y^2+u（y）/y^2=u'（y）/y=2y+1；
由3，u'（y）=2y^2+y，则u（y）=2y^3/3+y^2/2+C'——其中C'为任意常数，为了方便，我们取C'=0；
综上求出该方程一个特解x=（2y^3/3+y^2/2）/y=2y^2/3+y/2。
step3.将a中的通解与b中的特解相加即为该方程的通解——
解得x=2y^2/3+y/2+C/y——其中C为任意常数。
