收缩与不动点

首先来观察收缩的定义：

我们先考察内射的性质，有lemma：

证明如下：

简单的将内射和收缩结合看即可。 接下来主要观察有关S1的性质，首先有非收缩定理：

证明如下：

这条定理看似简单，实则会在之后的定理和复杂图形中发挥一定的作用。 接下来观察一个非常重要的lemma

第一部分证明如下：

其中诱导出的映射由商映射的定理22.2可以得出。 交换图如图

定理22.2如下图：

g即是我们需要的k。 第二部分证明如下：

第三部分证明如下：

第三部分都与第一部分证明类似，都是利用商映射的性质。 那么通过此定理，我们可以得到一个推论：

证明其不是零伦的我们只需要证明这两个映射诱导同态不是平凡同态就可以了（定理55.3），这时对于第一个内射，我们只要找一个收缩来证明题目中映射的诱导同态是单射即可（定理55.1）。而对于第二个，诱导同态是恒等同态，自然是单射。 找到的收缩如下：

接下来观察一个有意思的定理：

首先解释一下什么叫向量场和非蜕化：

证明如下：

这是示意图。其中最后一个矛盾用到了定理55.4. 于是乎，我们有著名的圆盘的Brouwer不动点定理：

证明思路也很简单，利用定理55.5和反证法：

（ps：感觉munkres书上证明有点问题，按下不表） 实际上不仅对二维平面上成立，对任意n维都有Brouwer不动点定理。 接下来我们观察上述定理在矩阵中的应用：

该推论重点就是将矩阵A看成一个三维空间的线性变换来考虑。实际上，只要A是任何一个n维的正实数矩阵，它均有一个正的实特征值，证明方法与上述几乎一摸一样。