【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第二章一元一次不等式 

§2-2不等式的性质

【01】在解方程的时候，要根据方程的两个基本性质进行变形，求得方程的解。同样，为了解不等式，我们先来研究不等式的某些重要性质。

1、不等式的两边加上相同的数

【02】不等式 5＞2 是永远成立的。如果在不等式 5＞2 的两边都加上 6，那末左边的值是 5＋6＝11，右边的值是 2＋6＝8  。因为 11＞8，所以 5＋6＞2＋6  。

【03】如果在不等式 5＞2 的两边都加上－7（也就是减去 7），那末不等式两边的值分别是－2 和－5  。因为－2＞－5，所以 5＋(－7)＞2＋(－7)  。

【04】从这个事实可以看到，在不等式的两边不论加上同一个正数或者同一个负数，不等式仍能成立。

【05】一般地说：如果a＞b，那末 a＋c＞b＋c  。这就是：性质1.在不等式的两边加上同一个数或者同一个整式，不等式仍旧成立。

【说明】因为某数加上 c 就等于某数减去 (－c)，某数加上 (－c) 就等于减去 c，所以这个性质也可以说成：在不等式的两边加上（或者减去）同一个数或者同一个整式，不等式仍旧成立。

例1.在下列不等式的两边各加上指定的数（或者整式），会得到怎样的不等式？

(1) a－b＞0，加上 b；

(2) x＋3＜0，减去 3  。

【解】根据不等式的性质1，可以得到：

        (1) a－b＋b＞0＋b，∴ a＞b  。

        (2) x＋3－3＜0－3，∴ x＜－3  。

【06】从上面这个例子可以看到，在第(1)题 a－b＞0 中，不等号左边的－b 移到了右边，并且改变了符号；在第(2)题 x＋3＜0 中，左边的 3 也变号后移到了右边。这种变形和解一元一次方程中的移项法则是一样的。

【07】因此，根据不等式的这个性质，我们得到解不等式的移项法则：不等式中的任何一项，都可以把它的符号改变后，从不等式的一边移到另一边。

2、不等式的两边乘以相同的数

(ⅰ) 如果乘数是正数

【08】在不等式 5＞2 的两边都乘以正数 3，那末不等式两边的值分别是 15 和 6  。因为 15＞6，所以 5 × 3＞2 × 3  。

【09】如果在不等式 5＞2 的两边都乘以正数 1/2（也就是除以 2），那未两边的值分别是  和 1  。因为 ＞1，所以 5 × ＞2 ×   。

【10】同样，在不等式－15＜－10 的两边都乘以正数 1/5，那末两边的值分别是－3 和－2  。因为－3＜－2，所以 (－1) × ＜(－10) ×   。

【11】一般地说：如果a＞b，c＞0，那末 ac＞bc  。这就是：性质2.在不等式的两边乘以同一个正数，不等式仍旧成立。

【说明】因为除以一个正数就是乘以这个正数的倒数，所以这个性质对于除以同一个正数，同样适用。

例2.在下列不等式的两边各乘以或除以指定的正数，会得到怎样的不等式？

(1) ＜5，乘以 3；

(2) 2x＞－4，除以2  。

【解】根据不等式的性质2，可以得到：

        (1)  × 3＜5 × 3，∴ x＜15  。

        (2) 2x × ＞(－4) × ，∴ ×＞－2  。

(ⅱ)如果乘数是负数

【12】在不等式 5＞2 的两边都乘以－3，那末两边的值分别是－15 和－6  。因为－15＜－6，所以 5 × (－3)＜2 × (－3)  。

【13】如果不等式 5＞2 的两边都乘以 （也就是除以－2），那未两边的值分别是  和－1  。因为 ＜－1，所以 5 × ()＜2 × ()  。

【14】同样，在不等式－15＜－10 的两边都乘以 ，那末两边的值分别是 3 和 2  。因为 3＞2，所以 (－15) × ()＞(－10) × ()  。

【15】一般地说：如果 a＞b，c＜0，那末 ac＜bc  。这就是：性质3.在不等式的两边乘以同一个负数，不等号必须改成和它相反的不等号（即“＞”改成“＜”，或者“＜”改成“＞”），不等式才能成立。

【说明】因为除以一个负数就是乘以这个负数的倒数，所以这个性质对于除以同一个负数，同样适用。

例3.在下列不等式的两边各乘以或除以指定的负数，会得到怎样的不等式？

(1) ＞－1，乘以－5；

(2)－4x＜12，除以－4  。

【解】根据不等式的性质3，可以得到：

        (1) () × (－5)＜(－1) × (－5)，∴ x＜5；

        (2) (－4) × ()＞12×()，∴ x＞－3  。

(ⅲ)如果乘数是零

【16】因为零和任何数的积仍旧是零，所以不等式两边的值都等于零，这时原不等式就变成一个等式了。例如，5＞2，5 × 0＝2 × 0；－7＜3，(－7) × 0＝3 × 0。

【17】一般地说：如果 a＞b，c＝0，那未 ac＝bc  。

【18】必须特别注意，在应用不等式的性质2时，一定要看清楚用来乘不等式两边的那个乘数（或者那个代数式的值）是正数、负数还是零。

习题2-2

1、在下列各不等式的两边各加上指定的数，所得的不等式是否仍旧成立？

(1) 9＞5，加上 3；

(2)－9＜5，加上－5；

(3)－9＜－5，加上 4；

(4) ＞，加上   。

2、把下列各不等式的两边各乘以指定的数，写出仍旧能够成立的不等式：

(1) 8＞3，乘以 2；【16＞6】

(2) 8＞3，乘以－2；【－16＜－6】

(3)－5＜2，乘以5；【－25＜10】

(4)－5＜2，乘以－5；【25＞－10】

(5)－4＞－8，乘以 ；【－2＞－4】

(6)－4＞－8，乘以 ；【2＜4】

(7) a＜b，乘以－1；【－a＞－b】

(8) m＞n，乘以－3  。【－3m＜－3n】

3、把下列各不等式的两边各除以指定的数，写出仍旧能够成立的不等式：

(1) 16＞12，除以 2；【8＞6】

(2) 16＞12，除以－2；【－8＜－6】

(3)－4＜－3，除以－1；【4＞3】

(4) 6＞－9，除以－3；【－2＜3】

(5)－25＜－10，除以－5；【5＞2】

(6)－a＜－b，除以－1  。【a＞b】

4、已知 a＞b，用不等号“＞”或者“＜”连结下列各题中的两个式子：

(1) a＋5 和 b＋5；【a＋5＞b＋5】

(2) a－b 和 0；【a－b＞0】

(3)－7a 和－7b；【－7a＜－7b】

(4) 和 ；【＞】

(5)  和 ；【＜】

(6)  和   。【＜ 】