《几何原本》命题4.7【夸克欧氏几何】

命题4.7：

可作一已知圆的外切正方形

已知：圆ABCD

求：作圆ABCD的外切正方形

解：

求出圆ABCD的圆心点E

（命题3.1）

连接AE

（公设1.1）

延长AE与圆ABCD交点记为点C

（公设1.2）

过点E作BD⊥AC，与圆ABCD交点记为点A，C

（命题1.11）

分别过点A,B,C,D作圆ABCD的切线FG,GH,HK,FK，交点分别记为点F,G,H,K

（命题3.16推论）

求证：四边形FGHK是正方形

证：

∵FG切圆ABCD于点A

（已知）

∴AE⊥FG

（命题3.18）

∴∟EAG是直角

（定义1.10）

同理可证，∟EBG也是直角

∵BD⊥AC

（已知）

∴∟AEB是直角

（定义1.10）

∴∟AEB+∟EBG=两直角

（公理1.2）

∴AC∥GH

（命题1.28）

同理可证，AC∥FK

∴GH∥FK

（命题1.30）

同理可证，GF∥HK

∴四边形FGHK，AEBG是平行四边形

（定义1.22）

∴GH=FK，GF=HK

（命题1.34）

同理可证，AC=GH，BD=GF

∵点E是圆ABCD的圆心

（已知）

∴AE=BE，CE=DE

（定义1.15）

∴AC=BD

（公理1.2）

∴GH=GF

（公理1.1）

∴GH=FK=GF=HK

（公理1.1）

∵▱AEBG中，∠G=∟AEB

（命题1.34）

∴∠G是直角

（公理1.1）

同理可证，∠F,∠K,∠H也是直角

∴四边形FGHK是正方形

（定义1.22）

证毕

此命题在本卷中未被使用

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