【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。  

第十二章曲线运动，转动

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】

§12-6向心力和离心力

【01】从§12-5中知道，作匀速圆周运动的物体，由于受到向心力的作用而具有向心加速度 a＝v²/R  。于是应用牛顿第二运动定律 F＝ma，把向心加速度的值代入，就得到向心力。

【02】由此可见，作匀速圆周运动的物体所受的向心力，等于它的质量和线速度的平方的乘积被圆半径所除的商。

【03】读者必须注意，任何一种力，只要是使物体作匀速圆周运动的，都可以作为向心力。在力学范围内，重力、弹力和摩擦力，都可以看作为向心力，所以我们决不能误以为向心力是上述三种力之外的另一类的力。我们举几个例子来加以说明。

【04】在弹簧上拴一个小钢球（图12·22）。我们把球冲击一下，使它沿箭头所指的方向运动。开始时球由于惯性而作直线运动，这时它和固定点 O 的距离增加，因而使弹簧伸长。这样就产生了作用在球上的指向固定点的弹力，这个力就使球开始沿圆周运动。所以，在这个例子中，弹力就是钢球作匀速圆周运动所需要的向心力。

【05】我们再来讨论骑自行车的人的运动。当运动沿着直线进行时，作用在人和自行车上的总重力 P 和地面对它们的托力 Q 位于同一条竖直线上，并且相互平衡。在转弯时，人和车向圆心一方倾斜（图12·23）。这时，作用在人和车上的力 P 和 Q 不再平衡，它们的合力 F 指向圆心，并使人和车获得向心加速度 a＝v²/R 而作匀速圆周运动。由此可见，这个合力就是向心力。

【06】赛跑和滑冰时，到了转弯的地方，也总是要把自己的身体向圆心一方倾斜，以获得转弯时所需要的向心力。

【07】月球和人造卫星绕地球运行所需要的向心力，就是地球对它们的引力。

【08】根据牛顿第三运动定律，既然作圆周运动的物体从另外的物体那里得到所需要的向心力，那么它必然对另外的物体也同时有一个大小相等、方向相反（沿半径离开圆心）的力，这个力叫做离心力，例如在图12·22中，弹簧作用在钢球上的力是钢球作圆周运动时所需要的向心力，而钢球作用在弹簧上的力就是离心力。月球或人造卫星绕地球运行时的离心力就是它们对地球的引力。

【09】向心力和离心力是作用力和反作用力，它们大小相等、方向相反，同时存在、同时消失，而且作用在两个不同的物体上，因此它们决不能相互平衡。

【10】向心力和离心力的概念很重要，让我们再举一个例子来说明。如图12·24所示，在光滑水平桌面的中央，钉一只钉子，钉子上套一根细绳，绳子的另一端拴一个小球。先把绳子拉直，然后在绳子的垂直方向对小球冲击一下，使之获得一个水平速度。如果没有绳子拉住小球，由于惯性，小球将沿这时的速度方向运动。现在绳子拉住小球，就是给它一个拉力，迫使它改变运动方向。改变运动方向以后，如果没有绳子拉住它，小球又将由于惯性而沿这时的速度方向作直线运动，但绳子仍旧拉住它，因而它又改变运动方向。这样小球在绳子的拉力作用下，继续不断地改变运动方向而作匀速圆周运动。

【11】绳子拉住小球的力就是向心力【绳子拉住小球的力实际上是绳子的弹力（或称张力），因小球要按惯性离开圆周作直线运动，把绳子拉长，于是绳子就产生弹力，拉住小球，这和图12·22是一样的】，沿着半径指向圆心作用在小球上。小球对绳子的力就是离心力，沿着半径离开圆心作用在绳子上。它们的大小相等、方向相反。

【12】假使在某一瞬间绳子突然断裂，则小球即将从它断裂瞬间所在的位置沿切线方向飞去。这个现象，有人以为小球是在离心力的作用下飞出去的。当然，这是错误的。我们必须明确：第一，绳子一旦断裂，向心力就立即消失，同时离心力也立即消失；第二，离心力是作用在绳子上的，不是作用在小球上的；第三，离心力的方向是沿半径向外，不是沿切线方向。因此，这个现象决不能用离心力来说明，而应该说：因为绳子断裂，小球已不受力的作用，由于惯性，按照牛顿第一运动定律，保持它的匀速直线运动状态不变，而沿切线方向飞出去的。

例9.一辆汽车和它所载的货物共重为 P，用速度 v 通过桥面。设桥面圆弧的半径都是R，求汽车在通过下列两种桥面中央时作用在桥上的压力。(1)凹形，(2)凸形（图12·25）。

【解】

(1)先讨论作用在汽车上的力。汽车受到的作用力有两个，一个是汽车和所载货物的重力 P，竖直向下；另一个是桥面对它的托力 Q，竖直向上。托力 Q 在数值上等于汽车对桥面的压力（因为桥面对汽车的托力和汽车对桥面的压力是一对作用力和反作用力） 

        当汽车静止时，力 P 和 Q 在同一条竖直线上，并且相互平衡。但当汽车在桥上运动并通过中点时，力 P 和 Q 就不再平衡，它们的合力就是使汽车沿圆弧形桥面行驶时所需要的向心力 F  。

(2)现在我们来求桥面对汽车的托力 Q  。

        因为力 P 和 Q 作用在同一直线上，并且方向相反，所以向心力 F 等于它们的数值的差，即

        对于凹形桥面：F＝Q－P，∴  Q＝P＋F  。

        对于凸形桥面：F＝P－Q，∴  Q＝P－F  。

        用P＝mg，F＝mv²/R 代入，得

        凹形桥面：Q＝mg＋mv²/R  。

        凸形桥面：Q＝mg－mv²/R  。

(3)由于汽车对桥的压力在数值上等于桥对汽车的托力 Q，所以我们说：汽车在通过凸形桥面的最高点时，对桥的压力比本身的重量为小；汽车在通过凹形桥面的最低点时，对桥的压力比本身的重量为大。如果汽车的速度相当大，那么，它对凹形桥面的压力就比本身的重量大得多，因此，凹形桥实际上是不适用的。

例10.铁路转弯处圆弧的半径是R，两轨道之间的宽度是d  。如果火车通过这里的标准速度是v，求这里的外轨道比内轨道应该高多少？

【解】和自行车转弯时一样，火车在转弯的地方也必须向圆心一方倾斜。这种倾斜是依靠铁路在转弯的地方外轨道要铺得比内轨道稍高一些得到的，也就是说，在这种地方路面是稍有倾斜的，倾斜面对向圆心（图12·26）。

        作用在火车上的力有两个：一个是火车的重量 P；另一个是铁轨对火车的托力 Q，其大小就等于火车对铁轨的压力，它们的合力 F 就是使火车得到向心加速度的向心力。

        如图12·27所示，OQ⊥CB，OP⊥AB，所以△ABC~△OPF，因此，。如果 AC＝内、外两轨道的离度差＝h，AB≈CB＝两轨道之间的宽度＝d，于是。

        再用F＝mv²/R，P＝mg 代入，得。

        由此可见，在转弯处，轨道半径 R 一定时，内、外两轨道之间的高度差是根据一定的速度来决定的。反过来讲，对于一定的内、外轨道高度差，就要有一定的速度来配合它。如果火车的速度大大地超过了这个速度，就有可能发生火车出轨或倾复事故。

习题12-6

1、一辆汽车和它所载的货物共重5吨。这辆汽车用21.6公里/小时的速度通过凸形桥面。桥的圆弧的半径是50米。求汽车通过桥中央时作用在桥面上的压力。（取g＝10米/秒²）【4640公斤】

2、一个重25公斤的小孩坐在秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁是3米。如果秋千板经过最低位置时的摆动速度是2.7米/秒，求这时秋千板所受的压力。【约31.2公斤】

3、铁路转弯处圆弧的半径是300米，两轨道之间的宽度是1435毫米。如果火车通过这里的标准速度是54公里/小时，求这里的外轨道比内轨道要高出多少？【约0.11米】

4、使一把撑开的带有雨水的伞绕着伞柄旋转，当速度不太大时，雨点随着旋转作圆周运动。试问这里作为雨点的向心力是什么力？当旋转速度增大时，雨点为什么会沿切线方向飞去？

5、飞机在天空的竖直平面上作半径为150米的圆周运动。如果飞行员的体重是70公斤，飞机经过圆周的最低点时的速度是360公里/小时，求这时飞行员对座位的压力。（取g＝10米/秒²）【约537公斤】