卷积码的 BCJR 译码算法 (一)

本文主要讲卷积码的 BCJR 译码算法。需要知道卷积码的基本原理和一些概率知识。我们会推导译码算法的公式，并以具体的例子来讲解 BCJR 的译码过程。

录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1n24y1i7Dh/

我们知道，卷积码是一种状态机，卷积码编码器中寄存器的数据就是状态，当前状态已知的条件下，当前状态的输出，至于当前的输入有关，而与过去的状态和输入无关，这就是马尔可夫（Markov）性。

在收到的数据为:

则，为了译码第 t 时刻的发送比特，我们计算这个后验概率

在 t 时刻，当前状态为 

下一个状态为  

我们把输入为 0 时的状态转移的集合，记为 
我们把输入为 1 时的状态转移的集合，记为 

则：

和

所以，关键点是计算如下这个概率：

我们做一下推导：

因此，我们需要计算这个联合概率：

我们把 r 分成三部分，一部分是 t 时刻以前的接收数据，一部分是 t 时刻接收的数据，一部分是 t 时刻之后接收的数据：

则：


我们再来分析公式 (1) 中后半部分


把 (2) 代入 (1) 有：

我们来看一下公式 (3) 的含义：
我们要分析当前状态为 p，下一个状态为 q ，且接收到数据为 r  这个联合概率，那么这个概率由三部分相乘得到：
(1) t 时刻之前接收到的数据为 ，且到达了 t 时刻的状态 为 p 的概率：

(2) t 时刻状态为 p 的条件下，到达下一个状态 为 q 且收到数据为  的概率

(3) t+1时刻状态为 q 的条件下，t 时刻之后的输出为  的概率


那么：

我们举个例子来说明：

我们使用卷积码：


则结构如下：

也可以画成下图，两者是等价的：

则其状态转移栅格图为：

假如我们要编码 10 个比特，从状态 00 出发，编码结束后回到 00 状态，则所有可能路径有：

假如我们编码的比特  x=[1, 1, 0, 0, 1, 0,  1, 0, 1, 1]

则输出比特为  V=[11  11  01  01  10  01  11   01  10  10]

编码路径如上图中红色所示。



我们假如要计算如下这个概率

注意上面公式中每个   其实是接收到的两个数据，分别对应  通过信道发送后得到的数据（这里要稍微注意一下，我们用 BPSK，则 0--> -1,  1---->1 ， 发送的是 -1 或者 +1).

输入 为 比特 1， 对应的状态转移有如下几种情况：

所以：

那么公式 (4) 中任何一个求和都可以按照下面这个例子来展开，我们以  为例：