S6G1L5 点列的回归曲线

2020-06-08 23:08 作者:学用数学 0人读过 | 我要投稿

给定一串点列，如何找到合适的拟合曲线呢？在 Geogebra 中已经内建统计数值分析模型，方便我们直接获取数据的一维与二维的统计资料分析。在二维的数据分析中，还可切换 [线性/指数/成长曲线/多项式/逻辑拟合] 等回归模型。在这次案例，我以【学用数学】公众号的关注人数来作一个初步的回归分析。

背景说明

这次分析的资料是 [学用数学] 从 2019/10/24 到 2020/6/3 公众号的订阅人数数据。在用线型回归模型时，得到回归直线为 y=4 x + 21 。表示这段期间在以每日 4 人的数量在增加。

但这图形后半段的增幅较大，若对 2020/4/1 到 2020/5/3 作回归分析可得 y = 7.3x - 590 。在这一个月是以每天7.3 人的增量在增长。而在在 2019/10/24~2020/3/31 这60天的平均日增约是 3 人。

若用【成长曲线】来作回归可得 y = 92*1.012^x 。在回归选项中还有个【指数曲线】也是会得到相同的函数，只不过在其解析式是用 e 为底来表示，在此例写为 y = 92xe^(0.01x) 。

然而对于人口规模模型，一般都无法持续等比增长，比较合理的增长都是用 logistic 回归（逻辑斯蒂曲线拟合）。在这模型会有个数量的最大上限，以目前这个数据得到的数值为 2975。

而我期待在 40岁生日前关注人数达到 14610 人，利用这个预期数据找出如下几类拟合曲线。

以指数拟合，每日 1.01倍再增长，则其函数为 y=79.5*1.01^x 。

若用 Logistic 拟合，设定通过 (224,1024), (524,14610), (730,16384) 这三点，则得到函数为 y = 16472/(1+534*exp(-0.02x))。

用三次多项式拟合现有的数据得到的为蓝色曲线，y=0.000169x^3-0.05x^2+7.13x 。

学习指引：

这次主要是认识 Geogbra 的曲线拟合功能。这次定位为 Lv 4 的难度，在学习这个课程时。若是 Lv1~2 的新手，可只完成【任务一】的部分，同时建议复习基础教程中的《S411L3 表格区与递回关系》的基础教学视频。在【任务二】将利用序列对原资料作些重新取样与调整。在【任务三】会在了解、[多项式拟合]与[逻辑斯蒂拟合]

基础教程

S411L3 表格区与递回关系

https://mp.weixin.qq.com/s/Pt4NGNhE3Pjp8jruv83GYg

https://www.bilibili.com/video/BV14x41197wy/

数学思维

理解线性拟合与直线回归方程
理解曲线拟合

Geogebra 技能

利用表格区的[双变数回归分析]
[多项式拟合]、[逻辑斯蒂曲线拟合]

任务一：利用表格区作拟合曲线

【目的】将表格区的资料作双变数回归分析。

数据资料： https://ggb123.cn/classic/hkbw56jh

阶段作品：https://ggb123.cn/classic/eqqupmtq

【分析】GGB 已内建回归曲线绘制功能，从 [表格区] 点选资料，就可一键生成回归分析的图。并可切换 [线性/指数/成长曲线/多项式/逻辑拟合] 等回归模型，获得对应的回归解析式以及函数图像。

【操作】

1. 先由 https://ggb123.cn/classic/hkbw56jh 打开含数据资料的 GGB，另存一份获取资料。

2.通过以下步骤，来取得数据的回归模型，可切换模型观察不同模型的回归曲线。得到回归模型函数后，可以计算预测点的数值。

（1）选取栏位资料，（2）点选【双变数回归分析】（3）选取合适的回归模型

3. 可点选上方的统计资料观察到相关系数，标准差等资料。另外，也可显示残差图。

任务二：重新取样后再作拟合曲线

【目的】要对表格的数据作些重新的采样，观察不同采样数据点时，回归曲线的变化。

阶段作品： https://ggb123.cn/classic/f5vta8ra

【分析】可将图像同步到代数区与绘图区，同步后可得到原始资料的list，通过滑动条 start, end, gap 来控制取样的范围，得到新的点列。再对这点列利用多项式拟合、指数拟合得到新的拟合函数。

【操作】

从统计图表区，点选上方的复制到绘图区

2. 建立三个滑动条 start, end, gap

n = 224

start = 滑动条(1,n,1)

end = 滑动条(1,n,1)

gap = 滑动条(1,30,1)

lgap = 序列(l1(k), k, start, end, gap)

fp3 =多项式拟合(lgap,3)

fp1 =多项式拟合(lgap,1)

fexp =生长曲线拟合(lgap)

任务三：逻辑斯蒂曲线拟合的探讨

【目的】当预期在 x=524, y=14610 ，那该找个哪类拟合曲线较合适。

阶段作品： https://ggb123.cn/classic/rrhedvc2

【分析】我们想基于现有的几个取样点 (69,331), (160,520), (224,1024) (524,14610) 来找到合适的拟合曲线。其中利用四个点可以拟合三次以下的多项式。我们将设定一个滑动条k 来观察不同次数的拟合多项式。

但对于人口增长的模型，通常有个最大上限，这时比较好的模型是用逻辑斯蒂曲线拟合。我们再增加一个动点来观察不同最大值时的逻辑斯蒂曲线拟合。

【操作】先建立几个取样点再直接套用拟合函数。

建立拟合点

P1=(69,331)

P2 =(160,520)

P3=(224,1024)

P4=(524,14610)

P5=(730,16384)

Ps = {P1,P2,P3,P4,P5}

2. 设定拟合曲线

k=3

pkl1 = 多项式拟合(l1,k)

pkps = 多项式拟合(Ps,k)

logil1 = 逻辑斯蒂曲线拟合(l1)

logips = 逻辑斯蒂曲线拟合(Ps)

延伸练习

你可使用以下资料 Covid-19 的全球感染人数，来作个相关练习

资料：https://ggb123.cn/m/hupayr28

参考作业：https://www.geogebra.org/m/gqjapce9#chapter/496526

小结

统计这类要需要大量计算的问题，就适合搭配 Geogebra 等计算软件来进行教学。Geogebra 现在内建很多统计相关函数，可以一个指令就快速调用这些统计函数。这次的任务主要介绍 GGB 的统计的回归分析功能，可看到除了直线回归，还可作到多项式、指数、逻辑斯蒂曲线回归等功能。本次任务除了让大家认识回归功能外，也希望介绍逻辑斯蒂曲线这函数。让大家从「用数学」的角度来欣赏数学的实用之美。

限时挑战

欢迎加微信 Acchu0331 入群打卡学习，每次任务有 20 元奖励红包。此次任务小打卡中获得最多赞可得 8元人气奖，另抽一位打卡者获得手气奖 8元。另外，还有 4 个总额 4元的随机红包为关注奖。本次任务的打卡期限为 2020/6/23。请参考视频，交一份作业在小打卡内，附上作品截图或动图，并写下 32 字以上的心得，如以下格式。

任务：S6G1 点列的回归曲线

姓名：朱安强

心得：Geogebr 的统计功能真的很方便，可以快速计算出各类回归模型，且还可在代数区作后续的加工调整。使得方便改变样本点就可即时观看回归曲线的变化。

作品：https://www.geogebra.org/m/jbteh5tc