【Re:PhiEdit / RPE】 曲线轨迹教程 ·【前置1】三角函数

【一 · 三角函数与其图像变换】

（前置知识 · 弧度制——请先了解该概念后再阅读该部分内容，你可以在B站上搜索相关内容，或者直接百度）

假如我们有这样一个直角三角形，如右图，其有一个角记为∠x，显然有：

而圆的方程是  ，对于斜边长为1的直角三角形，我们可以画出下面的动图：

其中，D点的坐标可以被表示为. DE即为上图的b边，AE即为上图的a边，我们记x轴正方向上的AE为“始边”，AD为“终边”。动图中以圆心为顶点的，以AD与x轴正半轴为边的角即为 x 角，注意不是标注的角。图中体现的是 x 从 0 到 2π （0° ~ 360°）变化的过程。注意，角可以大于2π，也可以小于0；三角函数值也可以为负数。

（以下内容部分摘自百度）

在二维的坐标系中，角一般是以x轴的正向为始边，若终边向y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角，如图得到的x就是正角。

比如图中的x角，按照正常的情况应该标注为∠Dax（这个x是x轴正方向），而且由图可以得到∠DAx从 0 逐渐增大到2π。一般而言，只讨论几何位置而不讨论角度大小的情况下， 与（k是整数）是同一个角，它们的终边落在同一个位置。

如果我们让D绕着这个圆一直转，我们可以画出DE的长度随x角变化而变化的函数图像，即为  的图像：

同理，我们也可以画出AE的长度随x角变化而变化的函数图像，即为  的图像：

（其实你可以发现，正弦图像向左平移个单位长度就是余弦图像，它们的周期均为.）

三角函数图像的标准形式是 ，接下来我会一一解释其中参数的含义。

我们从最简单的A开始。

显然，A的作用是把这个函数图像上的每一个点的y值全部乘上A，感性理解就是把整个图像在纵轴方向拉伸或压缩，改变的是三角函数图像的振幅，如图。

接下来是b。

初中老师告诉过我们，把一个东西加上一个常数等效于把它的图像上下平移，就像这样。

然后是两个复杂一点的东西，ω (omega) 和 φ (phi) 。

初中老师还告诉过我们“左加右减”，这就是 φ 干的事情。

还差一个 ω 。想象一下，对于一个一次函数，当它的斜率变大时，整个函数图像的x轴会向y轴被“压缩”，压缩的倍率是，而这里的 ω 是一样的，它会使得函数的周期变为，如图；这里 ω 的正负会对函数图像造成整体沿y轴对称的影响。

注意，ω 和 φ 是相互独立的，也就是说，如果你想把一个图像从先向左平移 π 个单位（φ = π），再扩张 0.5 倍（即压缩 ω = 2倍），那么你应该这么做：

而不是：

这会对后面的截取圆弧的理解造成影响，所以务必要清楚这一点。

好啦，现在你已经知道了  中各参数的意义，将它们组合起来即可完成对三角函数图像的任何平面变换。这为你以后填写曲线轨迹的方程打下了坚实的基础！

以上的所有内容务必好好消化哦_(゜▽゜」∠)_！

本教程中的动图与图片均为我使用 Desmos 和 GeoGebra 制作。

PS:本文为我原创 但是投稿的时候忘记加了（）