2023 李开丁数一模拟二

拆开做，所以没有记录时间。

1、简单题。用到“路径无关”的性质。

2、该级数不是正项级数，也不是交错级数，但是满足收敛级数的必要条件。

使用泰勒展开，将级数展开，这样就分为两类级数求和，所以分别讨论正项级数和交错级数的收敛即可。

3、方向导数公式和梯度的公式。

4、注意特解的形式。

5、因为是秩1矩阵且，所以，所以矩阵B就是等价于特征值全为1的实对称阵，所以矩阵B可逆。，则根据矩阵形态可以判定列C的列向量组和矩阵A的列向量组等价

6、

（A）对于实矩阵A，只要有两个不同的特征值，那么就一定相似于对角矩阵。在使用特征多项式后，利用判别式判定的解的情况

（B）A的特征值只能是1或0，那么, 必然有一个是不可逆矩阵。

（C）这里用到了特殊矩阵乘法的结论和正交矩阵的性质。

（D）计算特征值使用定义法或特征值多项式得到

7、施密特正交化公式，计算时需要仔细。

8、考察了卡方分布的密度函数，这个应该是略微超出考研数学的范畴。

9、简单的概率计算。数一真题曾经有道过这样的题。

10、第二类错误是“不为真，且接受了”，那么已经为假，所以需要求出接收这个伪命题的概率。数一真题中也曾考过。

11、因为二阶连续偏导，所以先对y求偏导，再对x求偏导，这样的计算会简单一些。

12、将被积函数展开，利用对称性简化计算。

13、通过设交点为，然后结合几何关系求解

14、定积分的几何定义

15、用到特征向量的定义。

16、用到复合函数求期望的公式。

17、

①用到，求出再用到不等式，这里其实也是观察会发现待求的不等关系，在Σ里面所以需要将其提出来。

②用到数列极限收敛的“单调递增有上限，必有极限”。

18、显然需要用到球坐标系来解决，然后使用雅克比变换。

19、

①第一类曲线是沿路径积分，所以使用对称性就可以解决。注意，求解时用到的等式关系。

②使用参数方程求解、化为二维求解或者使用斯托克斯公式。

20、

①因为“围绕原点的任意分段光滑闭曲线上，曲线积分都为同一常数”，所以把右半面的闭曲线分为两部分，分别绕原点一圈回来。

②使用，进行求解，不过解微分方程，则是对应相等，使用凑的方法解决。

21、

①当矩阵A可逆的时候很好证明，也就是分块矩阵计算公式。

当矩阵A不可逆时，构造是可逆的，然后使用上面同样的推导方法（这体现了数学的归约思想），取即可完成证明

②使用①的方法完成求解。

22、这道题很常规，使用几何法即可完成求解。

附加题

1、

①已知随机变量Z的密度函数，需要求的最大似然估计。

可以求出，所以求出和的最大似然估计代入即可。

②判断无偏估计的公式，之后就是求和公式的一些计算，不难。

2、需要使用雅克比变换，对图象边界进行处理。

3、

①整个思路很简单，主要是用数学符号表示出来（因为是实对称阵所以一定存在正交矩阵Q，使得）。

②应用①的结论。