种群增长的数学模型

在高中生物学选择性必修2第一章第二节《种群数量的变化》一课，我们学到了两种种群增长的形式——“J”型增长和“S”型增长。

“J”型增长的模型假设为：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的倍。

课本上“J”型增长的数学模型被表示为：

但事实上这是一个离散函数，仅能表示第几年，这就意味着和之间是割裂开的，这更为适用于描述一年生植物和昆虫等这种世代分离种群的数量变化。

因此，为了表示世代连续的种群（如人和多数兽类）数量变化，我们将上面的公式改写为：

其中为自然对数，为增长率，我们遇到的大多数种群的数量变化用这种模型更为合理。

但是，在一些较为复杂的题目当中，却提到了书中没有提到的增长速率。

什么是增长速率呢？它和增长率有什么区别？

事实上，我们可以将增长速率看作是单位时间内，种群数量的增长量，类似于我们学过的导函数，即：

增长率则是单位时间内种群数量增长量占种群数量的多少，即：

从这里我们能够看出，“J”型增长的增长率是一个常函数，而增长速率是一个指数函数。

说完了“J”型增长，那么“S”型增长呢？

我们可以从“S”型增长的模型假设想起，“S”型增长的模型正好与“J”型相反——我们将其描述为“现实”环境，也就是种群的增长会受到种群密度或者说环境的制约，这种制约我们用表示，随着种群数量的增加，制约会由0增长到1（当种群数量达到环境容纳量时）。

那么也就是说，“S”型增长的增长率并不是始终维持在最大——，而是要将乘一个系数，这个系数就是，表示在受制约条件下，种群数量的实际增长率，即

那么，“S”型增长的增长速率为，即逻辑斯蒂方程（logistic equation）：

其积分式为：

其中：

这也是“S”型增长数学模型的具体形式，从而得出“S”型增长的增长率为：

“S”型增长的增长速率为：

PS1：曲线图中各项参数如下： ；；。

PS2：嘿嘿，回想起来王朝老师在教我的时候说算不出来“S”型增长的增长率我还是记得的。

参考资料：

[1] 孙儒泳. 基础生态学[M]. 高等教育出版社, 2002.