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对精算科学来说，当我们处理独立随机变量的总和时，特征函数很有趣，因为总和的特征函数是特征函数的乘积。 

• 介绍

在概率论中，让 

 对于 

 和 

 对于 

 是一些随机变量的累积分布函数 

，即 

。什么是矩生成函数 

，即 

 ？

如何编写 

 ？

在概率教科书中，标准答案是

• 如果 

•  是离散的

• 如果 

•  （绝对）连续，

 

 是的密度 

。这里， 

 显然不是离散变量。但是是连续的。需要绘制该分布函数以查看， 

， 对所有 

 

我们有一个不连续的0。因此，我们在这里必须谨慎一些： 

 既不是连续的也不是离散的。让我们使用公式，

如果也可以写 

，

这只是说总体平均值是每个子组平均值的重心。

 然后让 

 而 

 

）。

让我们考虑三个不同的组成部分。

 

 

（因为它是一个实值常量），在这里 

。

所以最后，我们计算 

。观察一下 

 给定 

 是具有密度的（绝对）连续随机变量。观察所有 

，

和 

，即 

 给定 

 是指数分布。

因此， 

 是指数变量和Dirac质量之间的混合 

。这实际上是问题的棘手部分，因为当我们看到上面的公式时，它并不明显。

从现在开始，这是高中阶段的计算，

如果 

 。如果把所有的放在一起

• 蒙特卡洛计算

可以使用蒙特卡洛模拟来计算该函数，

1. > F=function(x) ifelse(x<0,0,1-exp(-x)/3)

2. > Finv=function(u) uniroot(function(x) F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root

或（以避免不连续的问题）

1. > Finv=function(u) ifelse(3*u>1,0,uniroot(function(x)

2. + F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root))

在这里，逆很容易获得，因此我们可以使用

然后，我们使用

1. 


2. > plot(u,v,type="b",col='blue')

3. > lines(u,Mtheo(u),col="red")

 

蒙特卡洛模拟的问题在于，仅当它们有效时才应使用它们。我可以计算

1. 


2. > M(3)

3. [1] 5748134

有限总和始终可以通过数字计算。就算在这里 

 不存在。就像Cauhy样本的平均值一样，即使期望值不存在，我也总是可以计算出来

1. > mean(rcauchy(1000000))

2. [1] 0.006069028

这些生成函数在存在时会很有趣。也许使用特征函数是一个更好的主意。

• 生成函数

首先，让我们定义那些函数。

 

如果 

 足够小。

现在，如果我们使用泰勒展开式

和

如果我们看一下该函数在0点的导数的值，那么

 可以为某些随机矢量在更高维度上定义一个矩生成函数 

，

 

如果要导出给定分布的矩，则一些矩生成函数很有趣。另一个有趣的特征是，在某些情况下，此矩生成函数（在某些条件下）完全表征了随机变量的分布。 

，

 对所有人 

， 然后 

。

 

• 快速傅立叶变换

回想一下欧拉公式，

因此，看到傅立叶变换就不会感到惊讶。从这个公式，我们可以写

使用傅立叶分析中的一些结果，我们可以证明概率函数满足

也可以写成

如果在点处的分布是绝对连续的，则可以获得类似的关系 

，

实际上，我们可以证明，

然后可以使用1951年获得的吉尔-佩莱阿兹（Gil-Peleaz）的反演公式来获得累积分布函数，

这意味着，在金融市场上工作的任何人都知道用于定价期权的公式（例如，参见  Carr＆Madan（1999）  ）。好处是，可以使用任何数学或统计软件来计算这些公式。

• 特征函数和精算科学

对精算科学来说，当我们处理独立随机变量的总和时，特征函数很有趣，因为总和的特征函数是特征函数的乘积。考虑计算Gamma随机变量复合和的99.5％分位数的问题，即

 

 和 

。策略是分散损失金额，

然后，要计算的代码 

， 我们用

 99.5％分位数

> sum(cumsum(f)<.995)

考虑以下损失金额

1. 


2. > print(X[1:5])

3. [1] 75.51818 118.16428 14.57067 13.97953 43.60686

让我们拟合一个伽玛分布。我们可以用

1. shape         rate

2. 1.309020256   0.013090411

3. (0.117430137) (0.001419982)

 

1. 


2. > alpha

3. [1] 1.308995

4. > beta

5. [1] 0.01309016

无论如何，我们都有个人损失的Gamma分布参数。并假设泊松计数变量的均值为

> lambda <- 100

同样，可以使用蒙特卡洛模拟。我们可以使用以下通用代码：首先，我们需要函数来生成两种感兴趣的变量，

如果我们生成一百万个变量，我们可以得到分位数的估算，

1. > set.seed(1)

2. > quantile(rcpd4(1e6),.995)

3. 99.5%

4. 13651.64

另一个想法是记住Gamma分布的比例：独立Gamma分布的总和仍然是Gamma（在参数上有附加假设，但在此我们考虑相同的Gamma分布）。因此，可以计算复合和的累积分布函数，

如果我们求解那个函数，我们得到分位数

1. > uniroot()$root

2. [1] 13654.43

这与我们的蒙特卡洛计算一致。现在，我们也可以在此处使用快速傅立叶变换，

1. > sum(cumsum(f)<.995)

2. [1] 13654

让我们比较获得这三个输出的计算时间

1. > system.time

2. user      system     elapsed

3. 2.453       0.106       2.611

4. > system.time

5. user      system     elapsed

6. 0.041       0.012       0.361

7. > system.time

8. user      system     elapsed

9. 0.527       0.020       0.560