题目:如图1,在锐角△ABC中,AB>AC,M是△ABC外接圆Ω的劣弧BC的中点,K是∠BAC的外角平分线与BC延长线的交点.在过点A且垂直于BC的直线上取一点D(异于点A),使得DM=AM.设△ADK的外接圆与圆Ω相交于点A及另一点T.

求证:AT平分线段BC

(请读者先去了解一下蒙日定理再来看解答)

思考过程:设AT与BC交点为G,通过长度直接去证明BG=CG比较困难.

既然G是后产生的点,我们知道的关于G的性质少,不如通过一步转换避开直接研究G.

题目中已经给出了两个圆,我们可以再找第三个圆,证明L是这三个圆的根心,利用蒙日定理转化.

根据结论可以知道L是中点,因此我们来找一条过BC中点的根轴.

反向延长KA交圆Ω于N,连接NM.(如图2)

由外角平分线性质知N是优弧BC的中点,那么MN过BC中点且垂直于BC.

接下来我们要找一个圆,使得它与其余两圆的根轴分别为MN,BK.

观察猜想M,P,N,K四点共圆.(如图3)

观察猜想P,M,D共线,证明这个结论有利于倒角,先来证明它.

由于M是劣弧BC的中点,AM是∠BAC的内角平分线,而AK是∠BAC的外角平分线

易知∠MAK=90° 

结合AD垂直于BK,AM=DM,可以推出:

∠AKP=∠MAD=∠MDA.

∠PDA=∠PKA.

那么∠MDA=∠PDA,共线得证.

由MN垂直于BK,MN平行于AD.

则∠PMN=∠PDA=∠PKA,P,N,K,M四点共圆得证.(如图4)

由蒙日定理,MN,PK,AT三线共点,L是BC中点,因此AT平分BC.

下面给出证明过程.

证明:反向延长KA交圆Ω于N,连接NM,设NM交BK于点L,连接PM.记△AKD外接圆为Ω1

∵M是劣弧BC的中点

∴AM是∠BAC的内角平分线

又∵AK是∠BAC的外角平分线

∴∠MAC=90°

即∠MAD+∠BAK=90°

∵AD垂直于BK

∴∠DAK+∠AKB=90°

又∵AM=DM

∴∠AKP=∠MAD=∠MDA

∵A,P,D,K四点共圆

∴∠PDA=∠PKA

∴∠MDA=∠PDA

即P,M,D三点共线

∵AK是∠BAC外角平分线

∴N是优弧BC中点

又∵M是劣弧BC中点

∴MN垂直平分BC

∴MN平行于AD

∴∠PMN=∠PDA=∠PKA

∴M,P,N,K四点共圆(外接圆记为Ω2)

∵MN,AT,BC分别为Ω与Ω2的根轴,Ω与Ω1的根轴,Ω1与Ω2的根轴

由蒙日定理,MN,AT,BC三线共点

∵MN平分BC

∴AT平分BC

几何图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/ubbnbi1rnp?lang=zh-CN

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