学习小记--一些奇奇怪怪，老师含糊其辞の问题之【传球问题探究】

问题引入：甲，乙，丙三人相互传球.从甲开始传，5次传递后回到甲有几种传递方式.

除了传统的类似于树状图的列法以外，我们还可以将每一轮可传人数以及传递方式分别列起来.如

如加以延伸得

其中可以分为两部分，其为中轴与两侧，两侧均相等，为左右对称.其中中轴即为传回自身，而两侧即为传给他人.每项均等于除自己以外的前一项的和，即为

且观察发现中项和侧项以周期性差值为1，－1.则将中项与侧项分别看成两个数列am和bm.由于可知

可分别求出am和bm的通项.以第一层为0次传球，a0=0,b0=0,bm=am+(－1)∧m.

1.以am推出am与bm的通项

由于可知a0=0,a1=0,a2=(n－1),a3=(n－1)(n－1－1)……得am=(n－1)(a(m－1)+(－1)∧m) .(m≥2).求通项得

am/(n－1)∧(m+1)=a(m－1)/(n－1)∧m+(1/(1－n))∧m=1/(1－n)n－(n－1)/n×(1/(1－n)∧(m+1)

即am=(n－1)/n×[(n-1)^(m-1)-(-1)^(m-1)]

bm=1/n[(n-1)^m-(-1)^m]

2.以bm推出bm和am的通项

由于bm=(n-2)b(m-1)+(n-1)b(m-2)

其特征根方程为x²=(n－2)x+(n－1)

Δ=n²,x=(n－2±n)/2,x1=n－1,x2=－1.

则bm=α1(n－1)∧m+α2(－1)∧m

带入b1=1，b2=n-2

解得α1=1/n,α2=－1/n

如n=4，m=9,则a9=3/4(3∧8－1)=4920,bm=1/4(3∧9+1)=4921